유신고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

유신고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

유신고등학교는 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산부터 미분가능성, 접선, 극값까지 연결되며 적분 단원은 이 자료의 출제 단원에 포함되어 있지 않습니다.

초반에는 접선의 기울기, 무한대에서의 극한, 극값 조건처럼 기본 개념을 적용하는 문제가 보입니다. 이후에는 극한값이 존재한다는 문장을 다항식의 인수 조건으로 옮기거나, 교점의 개수를 새로운 함수로 정의해 연속성을 판단하는 문제가 이어집니다. 식의 계산에 앞서 조건을 어떤 형태로 표현할지 정해야 합니다.

서술·단답형 뒤에도 객관식 문제가 이어지는 구성입니다. 18~20번은 도함수와 미분계수의 기본 구조를 활용하고, 21·22번은 도형의 극한과 다항식의 차수 조건을 다룹니다. 자동 분류 기준 어려움 문항에 오래 머무르기보다 전체 문항을 훑어 접근 가능한 풀이부터 완성하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 중·후반의 조건 해석

쉬움 문항에서는 다항함수의 미분, 극값 판단, 기본 극한 변형을 정확히 처리해야 합니다. 2번은 음의 무한대로 갈 때 근호의 부호를 확인하고, 18번은 도함수가 사라지는 지점을 찾은 뒤 부호 변화로 극소를 판정해야 합니다. 익숙한 계산에서도 개념 확인을 생략하지 마세요.

보통 문항은 단순 계산만으로 묶이지 않습니다. 4번은 극한 성질의 성립 조건과 반례, 6번은 롤의 정리 증명 과정, 7·20번은 미분계수 형태로의 변형을 다룹니다. 13번은 무한대와 유한한 지점에서의 극한 정보를 함께 사용하므로, 조건을 사용하는 순서를 정하는 연습이 좋습니다.

어려움 문항은 9번부터 등장하지만 13번과 18~20번에서 다른 난이도로 돌아옵니다. 특히 14·16·17번은 교점 개수와 경계 처리를 요구해 경우 정리에 시간이 들 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 일치한다고 단정할 수 없으며, 연습에서는 막힌 원인이 계산인지 조건 해석인지 구별하세요.

출제 단원 — 함수의 극한과 그래프 해석의 연결

함수의 극한에서는 계산과 조건 해석이 함께 나옵니다. 2·5번의 기본 변형에서 출발해 10·13번은 인수와 최고차항, 15번은 근의 중복도, 22번은 최고차항과 최저차항을 비교합니다. 극한 단원을 복습할 때 계산 유형만 반복하면 다항식을 결정하는 문항에 대응하기 어렵습니다.

함수의 연속 문항은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 11번은 경계에서 몫의 연속성을 맞추고, 14·16·17번은 교점의 개수를 함수로 보아 값의 변화를 추적합니다. 원래 그래프의 모양을 그리는 것과 교점 개수 함수의 연속성을 판단하는 것을 구분해야 합니다.

미분 영역은 극한과 연결해 준비하세요. 7·20번은 차분을 미분계수의 정의에 맞게 분리하고, 19번은 같은 높이의 점들을 인수 형태로 표현합니다. 도함수의 활용에서는 극값뿐 아니라 롤의 정리와 접선이 만드는 도형도 다루므로, 공식 적용 이유를 말로 설명할 수 있어야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 수는 같고 중심 단원은 변화

작년과 올해는 모두 수학II 자료입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같고, 쉬움은 늘었으며 보통은 줄었습니다. 총 문항과 서술·단답형이 늘어난 변화도 있으므로, 어려움 문항 수만으로 시험 전체의 체감 부담이 같았다고 판단할 수는 없습니다.

함수의 극한은 작년 6문항에서 올해 9문항으로 늘고, 미분계수와 도함수는 7문항에서 5문항으로 줄었습니다. 함수의 연속은 5문항에서 4문항, 도함수의 활용은 3문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 다음 시험 준비에서는 미분 기본기를 유지하면서 극한 조건을 인수와 차수로 해석하는 연습을 보강하세요.

작년에는 7번부터 어려움 문항이 등장했고 서술·단답형 20번도 어려움이었습니다. 올해는 9번부터 어려움이 등장하며 서술·단답형 18~20번은 쉬움과 보통입니다. 양쪽 모두 끝부분에 어려움 문항이 있으므로, 번호가 뒤라는 이유로 기본 구조가 보이는 문항까지 미루지 않는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건을 먼저 제한식으로 바꾼 뒤 후보를 검토한다는 것입니다. 계산을 시작하기 전에 중복도, 근의 구간, 차수 중 무엇을 먼저 정해야 하는지 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 18~20번처럼 구조가 보이는 문항을 확보하세요. 9~12번에서 풀이가 길어져도 뒤의 13번과 서술·단답형을 확인할 필요가 있습니다. 14·16·17번의 경우 정리가 막히면 경계와 그래프 스케치를 남기고 다른 문항을 진행한 뒤 돌아오세요.

극한에서는 접근 방향과 부호를 먼저 표시하세요. 2번은 근호를 정리할 때의 절댓값, 12번은 교점 좌표의 부호, 21번은 매개변수의 범위가 중요합니다. 10·11번에서는 분모가 사라질 때 필요한 인수를 찾은 뒤 약분한 식이 원래 극한과 연속 조건까지 만족하는지 확인해야 합니다.

그래프 문제의 마지막 검토는 경계에 집중하세요. 14·16번은 경계 높이에서의 실제 교점 수와 양옆의 교점 수를 따로 적고, 17번은 각 근이 해당 구간에 속하는지 대조하세요. 서술·단답형도 18번의 극소 판정, 19번의 인수 구성, 20번의 차분몫 분리 근거를 남기는 연습이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선의 기울기와 극값의 기본형부터 복습하세요. 도함수의 근과 부호표를 연결하고 구한 좌표를 원래 함수에 대입하세요(1·3·18번 대비).
2. 극한 성질의 적용 조건과 롤의 정리 증명을 설명해 보세요. 반례와 좌우 차분몫을 통해 개념을 확인하세요(4·6번 대비).
3. 인수분해와 미분계수 정의로 차분몫을 정리하세요. 기준점과 입력의 증분을 표시해 배율을 확인하세요(5·7·19·20번 대비).
4. 극한의 존재를 인수·차수·중복도 조건으로 바꾸세요. 유한한 지점에서의 조건과 무한대에서의 조건을 나누어 정리하세요(10·13·15·22번 대비).
5. 구간별 함수는 경계의 함숫값과 좌우극한부터 점검하세요. 이어 교점 개수 함수를 표로 만들고 근의 구간 조건까지 확인하세요(9·11·14·16·17번 대비).
6. 도형을 좌표와 매개변수의 식으로 표현하는 연습을 하세요. 접점·절편·넓이를 순서대로 구한 뒤 극한을 계산하세요(8·12·21번 대비).