청담고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

청담고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

제공 자료의 지역·구 정보는 서울 서초구입니다. 이번 청담고등학교 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산에서 출발해 연속 조건과 미분가능성, 접선 및 평균값 정리로 연결됩니다.

극한 단원에서는 유리화만 익히는 것으로 충분하지 않습니다. 부등식으로 극한을 제한하거나, 유한한 극한의 존재로 다항식의 형태를 정하고, 기하적 길이를 식으로 옮기는 문제가 함께 있습니다. 같은 단원 안에서도 계산을 시작하는 근거가 달라집니다.

연속과 미분에서는 정리의 가정과 결론을 구별해야 합니다. 불연속인 함수도 최댓값과 최솟값을 가질 수 있고, 개별 함수가 미분가능하지 않아도 합이나 곱은 미분가능할 수 있습니다. 익숙한 명제를 역으로 적용하지 않는 태도가 중요합니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 결합과 기본형의 재등장

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·11·12·21·22·24번입니다. 그래프에서 한쪽 극한을 읽거나 평균변화율을 계산하고, 사잇값 정리와 평균값 정리의 절차를 적용하는 기본형입니다. 쉬움으로 분류되더라도 정리의 전제를 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

보통 문항은 극한의 성질, 연속 조건, 미분을 이용한 계수 결정과 접선 해석을 폭넓게 다룹니다. 특히 5·6번의 개념 판단과 10·12번의 분모 변형에서는 계산보다 적용 조건을 먼저 살피는 습관이 시간을 줄여 줍니다.

어려움은 16·18번과 서술·단답형 19·20번에 배치되어 있습니다. 17번은 보통이고 21번 이후에는 쉬움과 보통이 섞여 있으므로, 막힌 문항 다음에도 풀 수 있는 문제가 이어집니다. 실제 체감 난도를 단정하기보다 자동 분류 기준과 풀이 구조를 함께 참고하세요.

출제 단원 — 함수의 극한을 중심으로 연속과 미분 연결

함수의극한은 1·2·3·5·8·9·10·19·21번으로 가장 많습니다. 그래프 판독, 유리화, 대소 관계, 다항식 결정, 도형의 길이까지 표현이 다양합니다. 유리화와 약분의 계산 연습에 더해 어떤 조건으로 극한의 존재를 보장하는지 설명해 보세요.

미분계수와도함수는 11·12·13·16·17·23번입니다. 평균변화율과 미분계수의 정의를 바탕으로, 항등식을 미분하거나 구간별 함수의 접합 조건을 세웁니다. 함수의연속은 4·6·7·20·22번으로, 경계에서의 연속뿐 아니라 정리의 가정과 실근의 위치까지 다룹니다.

도함수의활용은 14·15·18·24번입니다. 접선 기울기 계산에서 외부점을 지나는 접선, 접선과 곡선의 재교점으로 이어집니다. 단원별 공부를 마친 뒤에는 극한으로 접선의 조건을 얻는 18번처럼 개념이 연결되는 문항을 별도로 복습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 주어진 표현을 그대로 계산하기보다 인수, 길이, 근의 위치로 바꾸어야 합니다. 풀이 전에는 조건이 만들어 내는 관계를 적고, 계산 뒤에는 원래 조건으로 되돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 극한 계산과 기본 미분 문항을 먼저 확보하세요. 16번에서 절댓값 그래프를 나누는 데 시간이 오래 걸리면 표시하고 17번을 확인하세요. 18~20번에 머무르다 21·22·24번을 읽지 못하는 일이 없도록 서술·단답형 전체를 먼저 훑는 연습이 필요합니다.

풀이를 적을 때는 핵심 근거를 남기세요. 19번은 교점의 좌표와 길이의 관계를 먼저 정리하고, 20번은 한 점의 연속 조건과 전체 구간에서 분모가 사라지지 않는 조건을 분리하세요. 22번은 연속인 구간과 양 끝 함숫값의 부호를, 24번은 정리의 적용 조건과 후보의 구간 포함 여부를 확인하세요.

마지막 검토는 조건별로 진행하세요. 5번은 극한의 성질을 적용할 가정, 6번은 충분조건을 필요조건으로 오해했는지, 16번은 경계 양쪽의 기울기를 확인하세요. 23번에서는 도함수의 연속성을 어디에 사용했는지, 24번에서는 구한 후보가 열린구간에 속하는지 살펴보세요. 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 연습 때 실제 소요 시간을 기록해 조정하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고, 무리식 극한의 유리화를 복습하세요. 약분 전후에 제외된 입력을 확인하는 습관을 들이세요(1·2번 대비).
2. 극한의 대소 관계와 성질을 조건 중심으로 정리하세요. 부등식으로 감싸는 방법, 분모를 통일하는 방법, 잘못된 명제의 반례를 함께 연습하세요(3·5·9·10·21번 대비).
3. 연속 조건과 연속함수의 정리를 구별하세요. 접합점의 극한과 함숫값을 맞추는 유형에서 시작해 최댓값·최솟값의 존재와 실근 존재의 논증으로 확장하세요(4·6·7·22번 대비).
4. 평균변화율과 미분계수의 정의를 복습하고 항등식의 미분으로 연결하세요. 증분이 달라질 때의 배율과 도함수의 연속성도 확인하세요(11·12·13·17·23번 대비).
5. 절댓값 그래프를 구간별로 풀고 경계에서 좌우 기울기를 비교하세요. 개별 함수와 합·곱의 미분가능성을 각각 판단하는 연습이 필요합니다(16번 대비).
6. 접점에 매개변수를 두는 기본형부터 접선과 곡선의 차를 인수로 나타내는 유형까지 연습하세요. 평균값 정리에서는 후보가 구간 안에 있는지 검토하세요(14·15·18·24번 대비).
7. 도형의 길이와 전체 정의역 조건을 식으로 옮기는 종합 연습을 하세요. 계산을 시작하기 전에 필요한 관계를 목록으로 적어 풀이의 흐름을 점검하세요(8·19·20번 대비).