배명고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

배명고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 기본 성질부터 연속함수의 실근 존재, 미분계수의 정의와 함수의 증가·감소까지 연결됩니다.

초반에는 직접 대입, 정의역 확인, 평균변화율처럼 출발점이 비교적 분명한 문항이 배치되어 있습니다. 그러나 같은 극한 단원에서도 계수를 정하거나 부등식으로 함숫값을 묶는 문제는 접근법이 다릅니다. 식의 모양만 보고 일괄적으로 인수분해하기보다 주어진 조건의 역할을 먼저 구분해야 합니다.

후반에는 접한다는 조건을 중복 인수로 옮기거나, 연속성과 수평선의 교점 개수를 함께 살피는 문제가 있습니다. 서술·단답형도 증가 조건, 사잇값정리, 극한에서 추론한 근의 존재를 다룹니다. 계산을 길게 쓰는 능력보다 필요한 논리의 연결을 빠뜨리지 않는 능력이 중요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 후반 조건 연결로

쉬움 문항은 1·3·4·5·7·8번으로 초반에 모여 있습니다. 다만 4·8번은 미분계수의 정의에 맞게 분모와 증분을 조정해야 합니다. 공식을 알고 있어도 증분의 배수나 부호를 놓치면 계산이 달라지므로, 빠르게 풀되 변형의 근거를 확인하세요.

보통 문항인 2·6번은 극한이 존재하기 위한 조건을 계수 결정에 이용하고, 11번은 대소 관계로 극한을 확정합니다. 15번은 서술·단답형으로 증가 구간을 설명해야 합니다. 9·10번이 막히더라도 11번을 확인하고, 12~14번 뒤의 15번에도 풀이 시간을 남기는 운영이 좋습니다.

16~19번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 실근 존재의 보장, 분모가 사라지는 경우의 배제, 그래프 교점의 변화처럼 검토 단계가 필요합니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 것은 아니지만, 후반에서 조건 해석과 검산에 시간을 남겨야 할 이유는 보여 줍니다.

출제 단원 — 극한과 연속을 중심으로 한 연결

함수의극한은 1번의 직접 대입부터 18번의 다항함수의 근 존재까지 폭이 넓습니다. 5번에서는 수렴과 발산 및 좌우극한을 구별하고, 6·9번에서는 극한 조건으로 식의 구조를 정합니다. 11번처럼 함수를 직접 구하지 않고 부등식으로 극한을 얻는 유형도 함께 준비해야 합니다.

함수의연속에서는 2·3번의 기본 조건이 16·17·19번에서 다른 개념과 결합합니다. 사잇값정리를 적용할 새 함수를 정의하거나, 곱의 관계식에서 분모의 실근 가능성을 검사하고, 절댓값을 취한 함수의 연속과 원래 함수의 그래프를 구분해야 합니다. 연속이라는 말만으로 가능한 결론을 넓혀 해석하지 마세요.

미분에서는 정의와 활용이 모두 중요합니다. 12번은 주어진 항등식을 차분몫으로 바꾸어 도함수를 얻고, 10·15번은 도함수의 부호로 극값과 증가를 판단합니다. 13번의 접촉 조건과 14번의 평균변화율 관계까지 연결해, 미분 계산 뒤에 그래프나 구간 조건을 붙이는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 보통 문항의 감소와 후반 조건 해석

작년과 올해의 과목은 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준으로 올해는 전체 문항과 서술·단답형 수가 줄었지만 어려움 문항은 늘었고 보통 문항은 줄었습니다. 문항 수가 적다는 이유만으로 풀이 부담까지 작아졌다고 해석하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 작년 도함수의활용에서 올해 함수의극한으로 바뀌었습니다. 함수의연속도 작년 4문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 미분의 활용뿐 아니라 극한에서 인수를 추론하고 연속성으로 근의 존재를 설명하는 연습을 함께 확보할 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항은 14·15·16·21번이었고 올해는 9·10번부터 나타납니다. 작년 서술·단답형은 17~21번에 모였지만 올해는 15·16·18번에 배치되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때는 번호 순서에 맞춘 풀이 습관보다 문제의 형식과 필요한 논증을 먼저 확인하는 연습이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 해설의 조건 연결을 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 조건을 인수, 부호, 그래프의 교점으로 바꾼 뒤 결론이 실제로 성립하는지 다시 확인해야 한다는 점입니다. 풀이의 첫 변환과 마지막 검증을 따로 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확하게 처리하고, 9·10번에서 접근이 길어지면 표시한 뒤 11번을 확인하세요. 12~14번의 조건 해석에 시간을 모두 쓰기 전에 서술·단답형 15번을 살펴보는 것도 좋습니다. 실제 제한 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 연습 중 문항별 소요 시간을 기록해 조정하세요.

서술·단답형에서는 결론보다 근거의 순서를 먼저 점검하세요. 15번은 도함수의 부호와 증가 범위, 16번은 연속성과 끝점 부호, 18번은 극한에서 얻은 근과 내부의 추가 근 존재가 중심입니다. 특히 16번은 주어진 정보로 실근을 보장하는 해석과 특정 함수가 우연히 실근을 갖는 상황을 구별해야 합니다.

검토 시간에는 계산을 모두 반복하기보다 조건 누락을 찾으세요. 4·8·12번은 증분과 분모 부호, 10·15번은 도함수의 근 위치와 경계, 17번은 나누는 식이 사라지는 가능성을 확인하세요. 19번에서는 절댓값의 연속을 원래 함수의 연속으로 바꾸어 읽지 않았는지 되돌아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 존재와 연속의 정의를 구별하세요. 직접 대입, 좌우극한, 정의역 끝점의 한쪽 연속성을 각각 설명해 보세요(1·2·3·5번 대비).
2. 극한 조건으로 계수를 제한하는 유형을 연습하세요. 무한대에서 최고차항을 확인하고 유한한 점에서는 인수 조건을 얻는 순서를 익히세요(6·9번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수의 정의를 함께 정리하세요. 증분의 배수와 방향을 바꾼 차분몫부터 함수 항등식의 도함수 유도까지 확장하세요(4·7·8·12번 대비).
4. 부등식과 연속성으로 결론을 보장하는 논증을 연습하세요. 극한의 대소 관계와 사잇값정리의 가정을 쓰고, 근 개수의 하한과 달성 예를 구별하세요(11·16·18번 대비).
5. 도함수의 부호표와 그래프 조건을 연결하세요. 극값의 위치, 증가 범위, 접촉 조건, 평균변화율 관계를 식으로 바꾸는 연습을 하세요(10·13·14·15번 대비).
6. 함수 관계식과 구간별 그래프를 검토하세요. 분모의 실근 가능성을 검사하고 절댓값의 연속 조건과 수평선 교점 수를 구분해 표시하세요(17·19번 대비).