보성고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

보성고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한값의 존재와 연속의 기본 성질에서 시작해 접선과 도형의 관계까지 이어집니다.

단원 이름만으로 풀이 도구를 제한하면 접근이 늦어질 수 있습니다. 함수의극한으로 분류된 10번은 접선을 이용해 교점 개수가 바뀌는 경계를 찾고, 20번은 미분으로 도형의 길이와 넓이를 표현한 뒤 극한을 계산합니다. 무엇을 구하는지와 어떤 도구가 필요한지를 나누어 읽어야 합니다.

초반에는 극한 계산과 미분가능성의 기본 조건을 확인하지만, 후반에는 여러 조건을 연결하는 부담이 커집니다. 식을 전개하기 전에 보조함수, 인수 형태, 그래프 중 무엇으로 정리할지 선택하세요. 서술·단답형에서는 그 선택의 근거를 짧게 기록하는 연습도 필요합니다.

난이도 분포 — 8번부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1·2번입니다. 극한이 존재하는 경우를 구별하거나 차분식을 미분계수의 정의로 바꾸는 기본형입니다. 보통인 3~7번에서도 유리화, 나머지 항등식, 접선 기울기, 연속과 미분가능성의 관계를 구분해야 합니다.

8~14번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 분모의 실근 조건, 치환한 부등식, 교점 개수의 변화, 곱의 미분법처럼 출발점이 서로 다릅니다. 앞 문항에서 오래 막히면 뒤에서도 같은 상황이 반복될 수 있으므로 전체 문항의 접근 가능성을 먼저 확인하세요.

서술·단답형에서는 18번이 보통이며 나머지는 어려움입니다. 다만 이 분포는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 기본 계산이 보이는 문항과 그래프의 경우 구분이 필요한 문항을 구별해 시간을 배분하는 데 활용하세요.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연결되는 미분과 그래프

함수의극한은 계산형과 활용형을 함께 준비해야 합니다. 3번의 유리화와 무한대에서의 차수 비교를 익힌 뒤, 9번의 부등식 변환과 11번의 다항식 결정으로 확장하세요. 16·20번은 점의 위치나 원의 넓이를 변수로 표현하는 과정이 극한 계산보다 먼저입니다.

미분계수와도함수에서는 정의를 알아보는 능력이 중요합니다. 2번의 입력 변화량을 맞추는 작업이 14번의 곱함수와 15번의 함수 관계식으로 이어집니다. 5번처럼 다항식의 나머지 조건을 미분하는 문제도 있어 미분을 단순한 공식 적용으로만 연습해서는 부족합니다.

함수의연속에서는 12·19번의 교점 개수 함수가 눈에 띕니다. 원래 그래프가 이어져 있는지와 교점의 개수를 나타내는 함수가 연속인지는 별개의 문제입니다. 도함수의활용 13·17번은 접선 조건을 인수나 수직 관계로 바꾸는 유형이므로 그래프와 대수식을 함께 다루세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 단원 구성보다 달라진 어려움의 비중

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 12문항으로 늘었고, 서술·단답형도 5문항에서 6문항으로 늘었습니다. 이는 분류와 구성의 변화이며 실제 성적 변화까지 의미하지는 않습니다.

작년에는 함수의극한·함수의연속·미분계수와도함수가 각각 6문항이었습니다. 올해는 함수의극한이 7문항, 함수의연속이 5문항이고 미분계수와도함수는 6문항을 유지했습니다. 도함수의활용도 2문항으로 같아 단원 구성의 큰 변화보다는 조건을 연결하는 연습에 무게를 둘 만합니다.

어려움 문항의 첫 위치는 작년 10번에서 올해 8번으로 앞당겨졌습니다. 작년의 보통 문항은 12·15·17번에도 있었지만 올해는 8~17번이 연속해서 어려움입니다. 다음 대비에서는 초반 기본형을 안정적으로 처리하고 후반에 남아 있는 접근 가능한 문항도 확인하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 연결 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 주어진 표현을 그대로 계산하기보다 보조함수, 사건별 그래프, 도형의 길이 관계로 바꾸어야 합니다. 풀이를 복습할 때 계산보다 첫 변환의 근거를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 조건을 정확하게 처리하고, 8번 이후에는 시작 식이 보이는지를 기준으로 진행하세요. 교점 개수 문항에서 경우 정리가 길어지면 표시하고 다른 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형의 18번도 미리 살펴 풀이 기회를 확보하세요.

서술·단답형은 핵심 근거를 먼저 짧게 남기세요. 15번은 미분계수의 정의로 바꾸는 과정, 16번은 거리 조건을 좌표로 표현하는 과정, 20번은 원의 지름을 판단하는 근거가 중요합니다. 연습에서는 식을 세우는 시간과 계산 시간을 구별해 어느 단계가 지연되는지 확인하세요.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 7번은 연속 조건, 8번은 판별식의 엄격한 부등호, 14번은 차분식의 부호와 배수, 18번은 원래 함수가 불연속이어도 변환한 함수는 연속일 수 있다는 점을 살피세요. 19번에서는 접점의 구간 조건과 경계 사건의 중복을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌우극한과 무한대에서의 차수 비교, 유리화를 복습하세요. 극한이 존재하는지와 값을 계산하는 절차를 나누어 연습하세요(1·3번 대비).
2. 차분식을 미분계수의 정의로 바꾸세요. 입력 변화량과 분모를 맞추고 함수 관계식에도 같은 방법을 적용하세요(2·15번 대비).
3. 연속과 미분가능성의 조건을 구분하세요. 분모의 실근 조건과 변환한 함수의 연속까지 범위를 넓히세요(4·7·8·18번 대비).
4. 항등식과 보조함수로 조건을 압축하세요. 나머지, 극한의 존재, 곱의 미분법을 인수 형태의 결정에 연결하세요(5·11·13·14번 대비).
5. 부등식의 입력을 통일하고 그래프의 교점 개수를 표로 정리하세요. 접선과 꼭짓점, 꺾인 점에서 생기는 경계를 따로 표시하세요(9·10·12·19번 대비).
6. 접선 기울기와 수직 관계를 도형의 길이로 연결하세요. 좌표를 변수로 놓고 거리나 원의 넓이를 표현한 뒤 극한을 처리하세요(6·16·17·20번 대비).