보성고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

보성고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선의 기울기를 포함한 도함수의 활용입니다. 극한의 기본 계산이 연속과 미분의 조건 해석으로 이어집니다.

극한식에 값을 바로 대입해 끝나는 문항보다, 극한이 존재한다는 사실로 함수의 모양을 먼저 좁히는 문항이 눈에 띕니다. 분모가 사라지는 지점에서 분자가 만족할 조건, 무한대에서 최고차항이 결정하는 관계를 나누어 읽어야 합니다. 도형에서도 길이와 넓이를 매개변수의 식으로 옮기는 단계가 필요합니다.

객관식과 서술·단답형은 끝부분에서 서로 섞여 있습니다. 서술·단답형을 모두 마지막에 처리하기보다 번호별 접근 가능성을 확인하세요. 15·16·18번은 자동 분류 기준 보통이므로, 후반이라는 이유만으로 미루면 풀 수 있는 문항의 시간을 잃을 수 있습니다.

난이도 분포 — 중간부터 등장하는 조건 결합

쉬움으로 분류된 9번은 연속함수의 부호 변화로 실근이 놓인 구간을 확인합니다. 보통 문항에도 유리화, 구간별 연속, 미분가능성, 근과 계수의 관계가 들어 있습니다. 자동 분류 기준 보통이라는 이유로 식의 구조를 확인하지 않고 계산을 시작하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

6번에서 자동 분류 기준 어려움이 먼저 나오고, 12·14번에서는 도형과 다항식 결정이 부담을 더합니다. 17·19·20번은 각각 그래프의 연속 조건, 내접원과 극한, 미분 항등식으로 접근법이 다릅니다. 어려운 문항을 같은 계산 유형으로 묶어 준비하기보다 조건을 정리하는 방식별로 복습하는 편이 좋습니다.

이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하지는 않습니다. 다만 보통 문항의 개념을 정확히 처리할 수 있어야 조건이 겹친 문항에 시간을 남길 수 있는 구성입니다. 연습 중 막힌 이유도 계산 실수와 조건 해석 실패로 구분해 기록하세요.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한에서는 대소 관계와 유리화 외에 다항식 결정이 반복됩니다. 6·10·14·15·16번은 극한 조건으로 차수, 인수, 계수 또는 근의 관계를 얻는 연습과 연결됩니다. 분모가 사라진다는 사실만 쓰지 말고, 인수를 약분한 뒤 남은 극한 조건까지 적용하는 습관이 필요합니다.

함수의연속은 그래프 변환과 구간 경계가 중심입니다. 3번은 원래 함수의 불연속이 변형된 함수에도 그대로 남는지 살피고, 7번은 곱의 연속성을 판단합니다. 17번에서는 보조함수의 값이 변하는 위치와 연속 조건을 함께 해석해야 하므로 그래프를 이용한 설명 능력까지 준비하세요.

미분계수와도함수는 5번의 미분가능성에서 13·18번의 정의 활용, 20번의 항등식으로 이어집니다. 도함수의활용으로 분류된 8번도 접선 기울기를 다항식의 인수 구조와 연결합니다. 미분 공식만 외우기보다 함수값의 차를 어떤 증분으로 나눴는지 확인하는 연습이 도움이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 앞에서 얻은 조건을 유지한 채 뒤의 조건으로 후보를 줄여야 한다는 것입니다. 계산 전 조건별 역할을 짧게 적고, 마지막에 원래 조건으로 돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 문항을 우선 처리하세요. 6번에서 차수 관계가 잡히지 않으면 표시한 뒤 7·8·9번을 확인하고, 12·14번에서도 같은 원칙을 적용하세요. 후반의 15·16·18번은 기본 극한과 미분계수 정의로 접근할 수 있으므로 번호만 보고 뒤로 미루지 않는 것이 좋습니다.

도형 극한인 12·19번은 좌표와 길이 관계를 정리하는 시간이 필요합니다. 그림에 매개변수와 선분의 대응을 먼저 표시하고, 넓이나 둘레를 표현한 뒤 극한 계산으로 넘어가세요. 연습할 때 식을 세우는 시간과 계산 시간을 따로 살피면 어느 단계에서 지체하는지 확인할 수 있습니다.

검토에서는 3·11번의 함숫값과 좌우 극한, 5번의 연속성과 미분가능성, 7·17번의 곱에서 사라지는 인수를 확인하세요. 13·18번은 증분에 따른 배수와 남는 인수, 20번은 최고차항 계수의 양수 조건이 중요합니다. 서술·단답형은 조건을 얻은 이유와 최종 대입 검토가 연결되는지 읽어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 대소 관계와 유리화를 복습하세요. 부호를 확인한 뒤 목표 식과 같은 형태로 바꾸는 연습부터 시작하세요(1·2·4번 대비).
2. 극한의 존재를 다항식의 인수 조건으로 바꾸세요. 유한한 지점과 무한대 조건의 역할을 나누어 적고 인수 형태를 유지하세요(6·10·14·15·16번 대비).
3. 그래프의 경계에서 좌극한·우극한·함숫값을 구분하세요. 합성이나 곱으로 변형한 뒤에도 새로 비교하고 상쇄되는 경우를 확인하세요(3·7·11·17번 대비).
4. 연속 조건을 먼저 쓰고 미분가능성을 확인하세요. 함수값의 차를 증분으로 나눈 형태를 찾아 배수를 조정하는 연습을 이어 가세요(5·13·18번 대비).
5. 교점과 도형의 정보를 식으로 옮기세요. 접선 기울기는 인수 구조로, 넓이와 내접원은 좌표·닮음·둘레의 관계로 정리하세요(8·12·19번 대비).
6. 미분 항등식은 차수 비교부터 시작하세요. 인수 후보를 정한 뒤 함수와 도함수의 계수가 동시에 맞는지 검토하고 제외 근거를 적으세요(20번 대비).