유신고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

유신고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

유신고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한 계산부터 연속과 미분가능성, 접선과 증감 해석까지 연결되는 범위입니다.

초반에는 접선의 기울기와 극값 조건처럼 익숙한 개념을 확인합니다. 이후에는 극한이 존재한다는 사실에서 인수를 찾거나, 구간별로 정의된 함수의 좌우 상태를 비교하는 문제가 이어집니다. 공식을 대입하기 전에 어느 지점에서 어떤 조건을 확인할지 정하는 능력이 중요합니다.

서술·단답형이 시험 맨 끝에만 모여 있지 않다는 점도 확인하세요. 18번 뒤에 객관식과 서술·단답형이 섞여 있으므로 번호만으로 풀이 부담을 판단하기 어렵습니다. 전체를 살피면서 기본 계산, 그래프 해석, 도형의 식 구성에 필요한 시간을 따로 확보하는 운영이 좋습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·4·6번은 접선과 극값의 기본 조건을 확인하기에 적합합니다. 다만 접선에서는 기울기가 같다는 조건과 같은 점을 지난다는 조건을 함께 써야 하고, 극값에서는 도함수의 부호 변화도 구별해야 합니다. 짧은 계산에서도 개념 확인을 생략하지 마세요.

보통 문항은 앞부분뿐 아니라 18·19번에도 있습니다. 7·9·11번에서 풀이가 길어지더라도 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 특히 18번은 극한의 대소 관계, 평균값 정리, 유리화가 함께 등장하므로 익숙한 소문항부터 풀이 근거를 정리할 수 있습니다.

13~17번은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 미분가능성의 검사 지점, 교점 수가 변하는 순간, 도형을 극한식으로 바꾸는 과정이 연속됩니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아니지만, 중반 이후 조건 정리에 시간이 필요하다는 점을 보여 줍니다.

출제 단원 — 미분계수와 극한의 연결

가장 많은 미분계수와도함수에서는 정의를 알아보는 능력과 곱의 미분법이 함께 쓰입니다. 3·5번은 극한을 미분계수로 읽는 기본 연결이고, 7·13번은 절댓값과 구간 경계를 포함합니다. 16·21번에서는 극한 조건과 미분 관계를 결합하므로 단순한 도함수 계산만 반복해서는 대비가 부족합니다.

함수의극한은 다항식 결정, 구간별 극한, 무한대에서의 비, 도형 활용까지 폭이 넓습니다. 특히 15·20번은 좌표와 길이 또는 넓이를 매개변수로 표현한 뒤 식을 정리해야 합니다. 극한 계산법을 익힌 다음 도형에서 계산할 식을 직접 만드는 연습으로 확장하세요.

함수의연속에서는 그래프와 교점 개수를 함수로 읽는 문제가 눈에 띕니다. 11·14번은 교점 수가 달라지는 경계가 중요하고, 12·17번은 원래 함수와 가공된 함수의 조건을 구별해야 합니다. 도함수의활용은 접선·극값·감소 조건을 다루므로 기본 성질을 정확히 적용하는 연습이 우선입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 쉬움 감소와 어려움의 이른 등장

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준으로 총 문항과 서술·단답형은 줄었지만, 쉬움은 줄고 보통과 어려움은 늘었습니다. 따라서 문항 수가 줄었다는 이유로 풀이 여유가 커졌다고 판단하기 어렵습니다. 기본형을 처리한 뒤 복합 조건을 해석해야 하는 비중을 함께 보아야 합니다.

작년에는 함수의극한이 9문항으로 가장 많았고 미분계수와도함수는 5문항이었습니다. 올해는 각각 6문항과 7문항으로 중심이 바뀌었습니다. 함수의연속은 양쪽 모두 5문항, 도함수의활용은 모두 3문항입니다. 극한을 별개 계산으로 끝내기보다 미분계수와 인수 조건으로 이어 읽는 연습이 필요합니다.

작년의 어려움은 12번부터 나타났지만 올해는 7번에서 시작합니다. 작년 서술·단답형은 19~22번이었고 올해는 18·20번이므로, 형식과 위치 모두 확인해야 합니다. 다음 시험 준비에서는 앞부분부터 복합 조건이 나와도 대응할 수 있도록 기본형과 조건 해석형을 섞어 풀어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 정해진 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 첫 계산보다 검사 대상과 제외 조건의 정리가 중요하다는 것입니다. 풀이를 시작할 때 확인할 지점과 경우를 적고, 마지막에는 원래 조건으로 돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 문항부터 처리하세요. 7번에서 절댓값의 좌우 극한 정리가 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 13~17번에 오래 머물기 전에 18·19번도 살펴, 풀 수 있는 문항이 뒤에 남지 않도록 하세요. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 문항별 소요 시간을 기록하는 연습을 권합니다.

조건 검토에서는 대상 함수를 정확히 구별하세요. 12번은 원래 함수가 아니라 제곱한 함수의 연속성을 묻고, 13번은 각 인수가 아니라 곱의 미분가능성을 확인합니다. 14번에서는 판별식으로 접하는 후보를 찾은 뒤 접점이 해당 구간 안에 있는지 확인해야 합니다. 17번은 분모가 사라지는 지점과 조각 경계에서의 좌우 극한을 나누어 보세요.

서술·단답형은 계산의 출발 근거를 남기는 연습이 필요합니다. 18번에서는 대소 관계를 이용할 때 나누는 식의 부호와 정리의 적용 조건을 확인하세요. 20번에서는 밑변과 높이의 근거, 매개변수 범위에 따른 길이의 부호를 적어 두면 검토가 쉽습니다. 마지막에는 유리화 뒤 약분한 인수와 접근 방향을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선과 극값의 기본 조건부터 복습하세요. 기울기와 접점 조건을 함께 쓰고 도함수의 부호 변화를 확인하세요(1·4·6번 대비).
2. 극한을 미분계수의 정의로 바꾸는 연습을 하세요. 함수값을 먼저 정하고 입력 변화량과 분모의 비율을 맞추세요(3·5·16번 대비).
3. 극한의 존재에서 다항식의 인수와 중근 조건을 찾으세요. 얻은 조건을 곱의 미분법과 연결해 보세요(2·7·21번 대비).
4. 구간별 정의와 절댓값은 경계 및 꺾임 위치를 먼저 표시하세요. 원래 함수, 제곱한 함수, 곱과 몫의 조건을 구별하세요(9·12·13·17번 대비).
5. 그래프의 점근선과 각 부분의 범위를 살핀 뒤 교점 수를 정리하세요. 접하는 순간과 구간 끝점을 함께 검토하세요(11·14번 대비).
6. 극한의 대소 관계와 사잇값·평균값 정리의 적용 근거를 말로 설명하세요. 계산 결과와 존재를 보이는 논증을 구별하세요(18·19번 대비).
7. 도형은 움직이는 점을 매개변수로 두고 좌표, 길이, 넓이 순으로 식을 만드세요. 완성한 식에 유리화와 극한 계산을 적용하세요(15·20번 대비).