유신고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

유신고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

유신고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한과 연속의 기본 판단을 바탕으로 접선, 증가와 감소, 극대와 극소까지 연결하는 시험입니다.

미분 공식을 적용하는 것과 미분 결과를 해석하는 것을 함께 연습해야 합니다. 도함수의 근이 있다고 해서 모두 극값이 생기지는 않으며, 판별식만 맞아도 근이 지정된 구간 밖에 있으면 조건을 만족하지 않습니다. 계산 전에 필요한 결론을 문장으로 정리하는 습관이 도움이 됩니다.

연속 단원도 경계에서 좌우 식을 맞추는 기본형에 머물지 않습니다. 곱으로 만든 함수의 연속성이나 교점 개수로 정의한 함수의 불연속을 다룹니다. 함수 자체의 성질과 새로 만든 함수의 성질을 구별하며 읽는 능력이 중요합니다.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1번은 무리식의 극한입니다. 보통인 2~4번은 미분계수의 정의, 평균값 정리, 감소 조건을 확인합니다. 기본 문제라도 변화량의 비율이나 구간 조건을 놓치면 풀이가 흔들리므로, 익숙한 공식의 적용 조건부터 정확히 적어 보세요.

5·6번에서 어려움이 등장한 뒤 7~9번은 다시 보통입니다. 10·11번 다음에도 12·13번의 보통 문항이 남아 있습니다. 번호가 커질수록 일률적으로 어려워지는 구성이 아니므로, 막힌 문제를 오래 붙잡기보다 다음 문항의 출발점이 보이는지 확인하는 운영이 필요합니다.

14~18번은 모두 어려움이며 서술·단답형은 19번이 보통, 20·21번이 어려움입니다. 난이도는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반에서 경우 분류와 조건 검토가 이어지므로 서술 풀이를 정리할 시간을 확보하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심

도함수의활용은 평균값 정리와 접선부터 극값의 존재 및 위치 조건까지 폭이 넓습니다. 5·11번은 도함수의 근이 어디에 있어야 하는지, 16·20번은 근에서 부호가 실제로 바뀌는지를 묻습니다. 미분식을 구한 뒤 수직선에 부호와 경계를 표시하는 연습이 이 단원의 공통 기반입니다.

함수의극한은 1번의 유리화, 7번의 다항식 결정, 8번의 합성된 입력 방향, 14번의 극한 존재 조건으로 확장됩니다. 함수의연속에서는 6번의 근과 부호, 13번의 곱함수, 18번의 이동된 함수의 곱, 21번의 교점 개수를 다룹니다. 같은 단원에서도 계산과 그래프 해석을 함께 준비해야 합니다.

미분계수와도함수의 2·10·15번은 정의와 곱의 미분을 연결합니다. 극한식을 미분계수로 바꾸기 전에 분자의 상수 부분이 사라지는지 확인하고, 구간별 함수에서는 연속성과 좌우 미분계수를 구별하세요. 이 기초가 도함수 활용 문항의 정확도를 뒷받침합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 극한 중심에서 도함수 활용 중심으로

작년과 올해 모두 수학II 자료입니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 11문항으로 늘고 쉬움은 5문항에서 1문항으로 줄었습니다. 총 문항은 줄었지만 기초 문항을 빠르게 확보한 뒤 여유를 얻는 방식만으로 운영하기는 어려운 구성입니다.

작년에는 함수의극한이 9문항으로 가장 많았고 도함수의활용은 4문항이었습니다. 올해는 각각 4문항과 10문항으로 중심이 바뀌었습니다. 함수의연속은 두 해 모두 4문항이며, 미분계수와도함수는 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 극한의 계산을 유지하면서 미분 결과의 해석에 학습 비중을 더 두세요.

작년의 어려움 문항은 9번부터 나타났지만 올해는 5·6번부터 등장합니다. 서술·단답형은 작년 18~20번, 올해 19~21번이며 올해는 20·21번이 어려움입니다. 작년의 번호별 흐름을 그대로 예상하기보다 전체 문항을 살펴보고 풀 순서를 정하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 계산하는 단계와 그 식이 유효한 범위를 확인하는 단계가 나뉩니다. 후보를 구한 줄 옆에 적용 구간과 제외 이유를 적어 두면 되돌아가는 시간을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 유리화, 미분계수 변환, 접선 작성처럼 출발점이 분명한 문항부터 확보하세요. 5·6번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 7~9번을 확인하세요. 객관식을 모두 끝낸 뒤 서술형에 들어가려 하기보다, 19번처럼 접근 가능한 서술 문항도 먼저 살펴보는 편이 좋습니다.

서술·단답형은 첫 문장을 조건의 번역으로 시작하세요. 19번은 접점을 미지수로 두고 외부 점을 지난다는 조건을 세우며, 20번은 서로 다른 근의 개수에서 가능한 인수 구조를 정합니다. 21번은 경계 통과와 접촉을 나누어 정리하세요. 연습 때는 계산 시간과 경우를 나누는 데 걸리는 시간을 구별해 기록해 보세요.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 5·11번의 열린구간 끝점, 8번의 안쪽 함수가 접근하는 방향, 16·20번의 중근 전후 부호, 21번의 접점 위치가 주요 확인 대상입니다. 18번은 이동 전후의 경계점을 빠짐없이 표시했는지 확인하고, 곱이 연속이라는 사실을 각 인수가 연속이라는 뜻으로 해석하지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 인수분해로 극한의 형태를 정리하세요. 무한대에서의 차수와 유한한 점에서 분자가 사라지는 조건을 구별하세요(1·7·14번 대비).
2. 미분계수의 정의를 변화량에 맞추어 변형하세요. 입력의 변화 비율을 확인하고 곱함수의 미분계수로 읽는 연습까지 이어 가세요(2·15번 대비).
3. 좌우극한과 좌우 미분계수를 표로 정리하세요. 합성된 입력의 접근 방향에서 시작해 곱함수의 연속성과 미분가능성으로 확장하세요(8·10·13·18번 대비).
4. 도함수의 근과 부호표를 함께 그리세요. 판별식, 축의 위치, 구간 끝점의 부호를 결합하고 중근에서 부호가 유지되는 경우를 구별하세요(4·5·11·16·17·20번 대비).
5. 평균변화율과 접선의 기울기를 구별하고 접점 매개변수를 활용하세요. 접선과 곡선의 재교점, 외부 점을 지나는 접선의 도형 해석까지 연습하세요(3·9·12·19번 대비).
6. 연속함수의 근과 교점 개수를 그래프로 설명하세요. 근이 놓인 구간에서 부호를 읽고, 직선이 경계를 지나거나 접할 때 전후 개수를 비교하세요(6·21번 대비).