보성고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

보성고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 증가·감소와 극값, 평균값 정리에서 넓이와 운동 해석까지 이어집니다.

도함수를 구하는 것으로 끝나는 문항보다 도함수의 부호를 조건으로 옮기는 문항이 눈에 띕니다. 감소 조건은 구간 전체에서 확인해야 하고, 극값은 도함수가 사라지는 점의 존재와 부호 변화를 구분해야 합니다. 적분에서도 넓이와 위치 변화량을 구별하는 판단이 필요합니다.

객관식은 중간에 기본형이 다시 나오며, 서술·단답형도 평균값 정리와 근의 분포부터 시작합니다. 번호만 보고 난도를 예상하기보다 접근법이 보이는 문항을 먼저 푸세요. 서술에서는 식을 얻은 이유와 후보를 허용하는 구간을 함께 남기는 연습이 유용합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2·8번입니다. 부정적분의 적분상수 결정, 제동 운동, 속도 그래프 해석이 포함됩니다. 특히 8번이 쉬움으로 분류되어 있으므로 6·7번에서 막히더라도 뒤 문항을 확인할 이유가 있습니다. 쉬운 문항도 이동거리와 위치를 혼동하면 계산이 달라집니다.

보통은 3·5·15·16번입니다. 전 구간에서의 감소, 부등식의 성립, 평균값 정리, 삼차방정식의 근 분포를 다룹니다. 기본 개념을 알더라도 등호 허용 여부와 양수·음수 구간을 확인해야 합니다. 서술·단답형을 모두 마지막으로 미루면 이 문항들의 풀이 시간도 부족해질 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 객관식 9~14번과 서술·단답형 17~20번에 연속됩니다. 그래프에서 얻은 정보를 식으로 바꾸거나 여러 조건을 결합하는 부담이 있습니다. 이 분포는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 미분과 적분 연결

도함수의활용은 2·3·4·5·11·12·13·15·16·18·19번으로 범위가 넓습니다. 단조성과 극값뿐 아니라 실근 분포, 도형의 부피 최적화, 함수 차의 최댓값까지 다룹니다. 부호표를 만드는 연습과 조건을 도함수에 관한 문장으로 다시 쓰는 연습을 함께 하세요.

정적분의활용은 7·8·10·14·20번입니다. 역함수와의 대칭, 넓이의 비, 접선과 곡선이 둘러싸는 넓이, 출발 시각이 다른 운동이 포함됩니다. 적분 계산보다 먼저 교점과 위아래 관계 또는 시간 기준을 확정하는 것이 중요합니다.

정적분의 6·9·17번은 각각 절댓값 적분의 최대·최소, 적분으로 정의된 함수의 극한, 정적분이 포함된 등식을 다룹니다. 적분 구간이 고정되어 상수가 되는 부분과 변수가 적분 끝에 들어가는 부분을 구별해야 합니다. 부정적분의 1번은 초기 조건으로 적분상수를 정하는 출발점입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 달라진 단원 비중

작년과 올해 모두 수학II 자료입니다. 총 문항 수는 같고 서술·단답형은 늘었습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 같지만 보통은 줄고 어려움은 늘었습니다. 따라서 기본형을 확보한 뒤 조건 해석을 요구하는 문제에 쓸 시간을 남기는 연습이 필요합니다.

작년 도함수의활용은 8문항, 정적분은 7문항, 정적분의활용은 2문항이었습니다. 올해는 도함수의활용 11문항, 정적분 3문항, 정적분의활용 5문항입니다. 같은 과목 안에서도 이번 자료는 도함수의 활용과 넓이·운동 해석 쪽의 비중이 더 큽니다.

작년의 어려움은 8번과 11~20번이었고, 올해는 4·6·7번부터 나타나며 9~14번과 17~20번에 이어집니다. 올해는 서술·단답형 초입의 15·16번이 보통으로 분류되어 있다는 점도 살펴보세요. 다음 대비에서는 단원별 계산과 함께 전체를 훑어 풀이 순서를 정하는 연습을 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 마지막 계산보다 교점의 중복, 경계 부근의 부호, 시간 기준을 정하는 앞 단계에서 풀이의 방향이 결정됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번의 기본형을 확인한 뒤, 4번이나 6·7번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 다음 문제를 보세요. 8번은 자동 분류 기준 쉬움이며 15·16번은 보통입니다. 객관식 후반을 모두 끝내고 서술·단답형으로 넘어가는 순서를 고정하지 말고 접근 가능한 문항부터 확보하세요.

서술·단답형은 계산 전에 근거가 되는 문장을 짧게 적으세요. 17번은 고정된 정적분을 상수로 두는 이유와 원래 등식에서 얻는 조건이 필요합니다. 18번은 닮음으로 길이 관계를 만들고 변수의 범위를 정해야 합니다. 연습할 때는 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하면 어느 단계가 느린지 알 수 있습니다.

마지막 검토는 부호와 경계를 중심으로 하세요. 3·4·13번은 도함수가 사라져도 극값이 아닐 수 있고, 7·10번은 넓이를 구간별로 나눠야 합니다. 8번은 초기 위치와 이동거리를, 19번은 열린구간의 끝점 부근을, 20번은 각 점의 경과 시간을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 운동의 기본 관계를 복습하세요. 초기 조건으로 적분상수를 정하고 위치·속도·가속도의 의미를 구별하세요(1·2·8번 대비).
2. 도함수의 부호표를 반복해서 작성하세요. 감소와 극값을 구별하고 판별식·근의 부호·정수 조건을 함께 확인하세요(3·4·5·13번 대비).
3. 그래프를 조건식으로 옮기는 연습을 하세요. 두 도함수의 대소, 중근의 위치, 수평선과의 교점을 각각 읽어 보세요(11·12·16번 대비).
4. 정적분의 정의와 미분을 연결하세요. 절댓값을 구간별로 풀고 고정된 정적분과 변수가 들어간 적분을 구분하세요(6·9·17번 대비).
5. 넓이 문제는 적분 전에 그림을 그리세요. 대칭축과 교점, 접점의 중복, 함수의 위아래 관계를 먼저 표시하세요(7·10·14번 대비).
6. 응용 문제는 변수와 범위를 정하는 단계부터 써 보세요. 평균값 정리의 기울기 관계, 닮음에 의한 부피식, 감소 조건과 적분의 연결을 연습하세요(15·18·19번 대비).
7. 출발 시각이 다른 운동은 공통 시각과 각 점의 경과 시간을 나란히 적으세요. 같은 속도와 같은 위치를 별개의 식으로 세우는 연습을 하세요(20번 대비).