보성고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

보성고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 등록 문항은 함수의 극한과 연속부터 미분, 정적분과 그 활용까지 걸쳐 있습니다. 기본 정적분 계산으로 시작하지만, 뒤에서는 여러 개념이 한 문항 안에서 연결됩니다.

초반에는 롤의 정리와 평균값 정리, 속도와 운동방향, 함수의 증가 조건을 확인합니다. 후반에는 실근 개수나 미분가능성 조건으로 함수의 형태를 정한 다음 적분이나 극값 계산으로 넘어갑니다. 공식을 기억하는 것과 조건에서 공식을 꺼내 쓰는 힘을 함께 준비해야 합니다.

서술·단답형인 16·18·19·20번은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 특히 20번은 도형의 길이와 넓이를 변수로 표현하는 준비 과정이 필요합니다. 객관식 풀이만 연습하지 말고, 조건을 정리한 식과 부호 변화의 근거를 남기는 방식으로 복습하세요.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 어려움 문항

쉬움으로 분류된 1·2·4번은 정적분 계산과 미분의 정리 적용입니다. 보통인 3·5·6·7번도 속도 부호, 도함수의 판별식, 그래프 교점, 적분 구간의 관계를 정리해야 합니다. 초반이라고 계산을 서두르기보다 각 문항의 판단 기준을 짧게 적는 편이 안정적입니다.

8번에서는 정적분으로 정의된 함수를 극한과 미분계수로 연결합니다. 여기서 막히더라도 보통으로 분류된 9·10번을 먼저 확인할 수 있습니다. 11~20번은 모두 어려움이지만, 요구하는 사고는 치역 제한, 대칭성, 실근 개수, 구간 분할 등으로 다르므로 자신이 접근할 수 있는 유형부터 고르세요.

이 난이도는 자동 분류 기준입니다. 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에 조건 해석이 필요한 문항이 연속된다는 점은 시간 계획에 반영할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의활용과 정적분 중심

도함수의활용은 8문항으로 가장 많습니다. 정리의 적용부터 증가 조건, 실근 개수, 합성함수의 최솟값, 도형의 넓이 최적화까지 폭이 넓습니다. 도함수를 구한 뒤 무엇을 판단할 것인지 먼저 정하는 연습이 필요합니다.

정적분은 7문항이며 단순 원시함수 계산에 머물지 않습니다. 8·12·16번은 적분식의 미분과 대칭성, 극값 조건으로 정보를 얻고, 19번은 기본 구간의 적분을 다른 구간으로 옮깁니다. 적분식을 보면 무조건 전개하기보다 구간과 함수 관계부터 확인하세요.

함수의연속, 미분계수와도함수, 함수의극한은 각각 13·14·17번에 배치됐고 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 문항 수가 적다는 이유로 제외하면 실근 개수와 불연속, 미분가능성, 극한 존재를 연결하는 유형을 놓치게 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 서술·단답형 증가

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 14문항에서 올해 11문항으로 줄었고, 올해는 쉬움 문항도 있습니다. 다만 서술·단답형은 작년 22번에서 올해 16·18·19·20번으로 늘었으므로, 어려움 문항 수 감소만으로 답안 작성 부담이 작아졌다고 보기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 도함수의활용으로 같습니다. 작년에는 도함수의활용 11문항, 정적분 7문항, 정적분의활용 4문항이었고, 올해는 각각 8문항, 7문항, 2문항입니다. 올해에는 극한·연속·미분계수 관련 단원도 따로 포함돼 있어 미분과 적분의 기반 개념까지 점검해야 합니다.

작년 어려움은 6번에서 시작하고 10~22번에 이어졌습니다. 올해는 8번에서 시작하고 11~20번에 이어집니다. 후반까지 조건 해석을 지속해야 한다는 점을 고려해, 다음 대비에서는 기본 계산을 빠르게 마친 뒤 서술·단답형까지 근거를 완성하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 풀이 구조를 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 얻은 다음에도 중복, 부호 변화, 추가 조건을 확인해야 한다는 것입니다. 후보를 구하는 단계와 후보가 조건을 만족하는지 검증하는 단계를 답안에서 분리해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1~7번과 9·10번에서 익숙한 유형을 확보하세요. 8번에서 적분식을 새 함수로 정리할 방향이 보이지 않으면 표시해 두고 이동하는 방식이 좋습니다. 전체 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 기본 문항 처리, 후반 접근, 검산의 순서를 정해 연습하세요.

11번 이후에는 식을 길게 전개하기 전에 치역, 대칭축, 실근의 중복, 구간 경계를 먼저 표시하세요. 16·18·19·20번은 서술·단답형이므로 마지막에 한꺼번에 남기기보다 중간에 내용을 확인하고 작성 가능한 문항부터 처리하세요. 20번은 넓이 함수 설정에 시간이 걸릴 수 있어 별도 여유를 두는 편이 좋습니다.

검산에서는 계산보다 조건을 먼저 보세요. 3번은 속도의 부호 변화, 9번은 위치 변화와 거리의 구별, 13번은 서로 다른 근의 중복, 18번은 구간 밖 근의 제외가 핵심입니다. 19번은 이동할 때의 부호와 배율을 확인하고, 20번은 구한 극값 후보가 도형의 허용 범위 안에 있는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 정적분과 미분의 정리부터 정리하세요. 원시함수 계산, 롤의 정리, 평균값 정리의 적용 조건을 말로 설명한 뒤 풉니다(1·2·4번 대비).
2. 도함수 부호표와 그래프를 함께 연습하세요. 증가 조건, 수평선 교점, 치역이 제한된 최솟값을 구분해 정리합니다(5·6·11·18번 대비).
3. 정적분식에 변수가 있을 때의 미분을 익히세요. 적분 변수와 바깥 변수를 구별하고 대칭성이나 극값 조건을 끌어냅니다(8·12·16번 대비).
4. 부호를 가진 적분과 넓이를 구분하세요. 속도 그래프를 위치 변화와 거리로 각각 읽고, 이동 관계에 따른 적분의 부호를 표시합니다(7·9·10·19번 대비).
5. 근의 중복과 함수의 경계를 따로 검증하세요. 실근 개수의 변화, 곱함수의 연속, 구간별 미분가능성, 극한 존재를 연결합니다(13·14·17번 대비).
6. 복합 조건과 도형 최적화는 설정 과정을 써 보세요. 후보를 고른 이유와 넓이 함수의 정의 구간을 적고, 마지막에 모든 조건을 대조합니다(15·20번 대비).