보성고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

보성고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

보성고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극대·극소와 접선에서 적분으로 정의된 함수, 넓이와 운동까지 이어집니다.

미분 영역에서는 도함수를 구한 뒤 그 의미를 해석하는 과정이 중요합니다. 운동 방향은 속도의 부호 변화로, 극값은 도함수의 부호 변화로 판단해야 합니다. 접선의 개수를 접점에 관한 방정식의 실근 개수로 바꾸는 문항도 있어 계산 대상 자체를 설정하는 능력이 필요합니다.

적분 영역은 원시함수를 구하는 계산에 머물지 않습니다. 구간을 나누거나 적분식을 미분해 함수의 조건을 복원하는 접근이 등장합니다. 특히 후반의 서술·단답형에서는 미분해서 얻은 관계를 원래 적분 조건에 되돌려 확인하는 과정까지 연습해야 합니다.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반 조건 해석에 대비

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·4·8·15번입니다. 속도와 운동 방향, 평균값 정리, 움직인 거리, 극대·극소의 기본을 확인합니다. 쉬움으로 분류되더라도 속도가 사라지는 순간과 방향이 바뀌는 순간, 변위와 이동 거리를 구별하지 못하면 실수할 수 있습니다.

보통 문항은 2·3·5·6·7·9·10·11·12·16·17번으로 분포합니다. 항등식과 미분계수의 정의를 연결하거나 접선 조건을 다른 함수의 극값으로 옮기는 등 출발 아이디어가 필요한 문항도 포함됩니다. 자동 분류 결과만 보고 모든 문항의 풀이 시간이 비슷할 것으로 예상하지 마세요.

어려움은 13·14번에서 등장한 뒤 18~20번에 이어집니다. 15번은 쉬움, 16·17번은 보통으로 분류되므로 앞의 어려운 문항 때문에 이 구간을 놓치지 않는 운영이 좋습니다. 실제 응시자의 체감 난도는 다를 수 있지만, 후반에 조건을 정리할 시간을 남겨야 한다는 점은 분명합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분이 중심

도함수의활용은 1·2·4·9·11·12·13·15·19번입니다. 극값을 계산하는 기본형에서 수평선과의 교점 개수, 수직인 접선, 등차수열 조건을 가진 사차함수까지 이어집니다. 증가·감소표를 그리는 능력과 접점을 문자로 두고 접선식을 세우는 능력을 함께 준비하세요.

정적분은 3·6·14·18·20번이며, 이 중 자동 분류 기준 어려움은 14·18·20번입니다. 적분으로 정의된 함수의 극한, 구간 분할, 매개변수가 들어간 절댓값 적분, 적분 등식의 미분으로 접근 방식이 달라집니다. 적분 기호가 보인다고 모두 부정적분 계산부터 시작하는 습관을 바꾸는 것이 중요합니다.

정적분의활용인 8·16·17번은 부호와 도형의 분할을 확인하는 연습에 적합합니다. 부정적분의 5·10번은 미분과 적분의 역관계 및 적분상수 결정이 중심이고, 미분계수와도함수의 7번은 함수 관계식을 차분몫으로 바꾸는 정의 이해를 요구합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 구조를 정하는 단계가 필요합니다. 그래프의 구간, 절댓값의 부호, 다항식의 차수를 먼저 적어 두면 이후의 계산이 어떤 조건 아래 유효한지 확인하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 접근이 보이는 문항을 확보하고 오래 막히는 문항에 표시를 남기세요. 13·14번에서 계산이 길어져도 15~17번을 확인할 여유를 남겨야 합니다. 19번이 객관식이고 20번은 서술·단답형이므로, 번호만으로 형식을 짐작하지 말고 답안 작성 방식도 미리 확인하세요.

그래프 문제는 계산 전에 작은 스케치를 남기는 편이 좋습니다. 2·11번은 극값과 같은 높이를 포함하는지, 9·15번은 도함수의 영점에서 실제로 부호가 바뀌는지 확인하세요. 12번은 접점이 축의 어느 쪽에 있는지와 내분 관계를, 13번은 수평선이 극댓값에 닿는 경우를 별도로 표시하세요.

적분 문제의 마지막 검토는 구간과 상수 조건을 중심으로 하세요. 8·16번은 부호 있는 적분과 양의 넓이를 구별하고, 17번은 교점 후보가 주어진 위치 범위에 속하는지 확인해야 합니다. 18·20번은 미분해 얻은 함수가 원래 적분 등식까지 만족하는지 돌아가 확인하는 시간을 남겨 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표부터 복습하세요. 영점과 부호 변화의 차이를 운동 방향 및 극대·극소에 연결해 설명하세요(1·9·15번 대비).
2. 평균값 정리와 미분계수의 정의를 식으로 써 보세요. 평균변화율과 순간변화율을 구별하고 함수 관계식을 차분몫으로 정리하세요(4·7번 대비).
3. 극값과 교점 개수를 묶어 연습하세요. 기본 삼차함수에서 접점에 관한 방정식과 구간별 변형 그래프로 확장하세요(2·11·13번 대비).
4. 접선은 접점과 기울기를 문자로 두고 시작하세요. 수직 관계와 내분 조건, 등차수열로부터 얻은 직선 조건을 함께 연결하세요(12·19번 대비).
5. 적분식은 구간 분할과 미분 중 어느 접근이 필요한지 먼저 판단하세요. 절댓값의 영점과 매개변수의 범위를 표시하는 연습도 하세요(3·6·14·18·20번 대비).
6. 부정적분의 적분상수와 넓이의 부호를 점검하세요. 함수 복원, 축과의 접촉, 같은 넓이 조건을 각각 짧은 근거로 설명하세요(5·8·10·16·17번 대비).