청담고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

청담고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

이 회차의 학교 위치 정보는 서울 서초구입니다. 출제 단원은 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 삼각함수그래프입니다. 거듭제곱근과 로그의 계산부터 함수의 이동과 최대·최소, 삼각함수의 그래프 및 부등식까지 다룹니다.

초반에는 지수법칙과 밑의 변환처럼 익숙한 계산 도구를 정확히 적용하는지가 중요합니다. 중반부터는 그래프의 이동을 넓이로 연결하거나 삼각함수를 치환해 이차함수의 범위로 바꾸는 과정이 등장합니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 어떤 표현으로 바꾸면 조건이 단순해지는지 판단해야 합니다.

후반에는 서로 다른 개념을 연결하는 부담이 커집니다. 12번은 로그와 삼각함수의 부호를 함께 다루고, 14번은 절댓값 그래프와 역함수의 대칭을 활용하며, 21번은 로그식을 좌표평면의 관계로 바꿉니다. 계산을 늘리기 전에 정의역과 그림을 정리하는 습관이 유용한 시험입니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·3·5·16번입니다. 지수와 로그의 계산, 동경과 삼각함수, 로그의 정의 조건, 지수함수의 평행이동을 확인합니다. 계산량이 적어 보여도 로그의 밑에서 제외할 값이나 그래프 이동의 방향을 놓치면 실수할 수 있습니다.

보통 문항은 4·6·7·8·9·10·11·17·18·19·20번입니다. 거듭제곱근의 실수 개수, 로그 관계의 변형, 그래프의 주기, 치환을 이용한 최대·최소 등이 포함됩니다. 특히 19번은 근을 직접 구하기보다 치환 뒤 근과 계수의 관계를 활용하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

어려움으로 분류된 12·13·14·15·21번에서는 구간 분류나 도형 해석이 추가됩니다. 이 난이도는 자동 분류 기준입니다. 객관식 후반이 막혔다는 이유로 서술·단답형까지 모두 어렵다고 판단하지 말고, 16번부터 접근 가능한 문항을 먼저 확인하세요.

출제 단원 — 로그의 계산과 그래프를 함께 준비

로그는 2·5·6·9·21번, 로그함수는 7·11·13·14·19번입니다. 같은 로그라도 기본 계산, 정의 조건, 방정식, 좌표와 도형의 해석으로 쓰임이 달라집니다. 밑의 변환을 연습할 때 식의 형태만 바꾸지 말고 밑과 진수의 조건이 변환 뒤에도 유지되는지 함께 확인하세요.

삼각함수그래프는 8·10·12·15번입니다. 주기와 최댓값을 읽는 유형에서 시작해 치환한 이차식의 범위, 곱의 부호, 절댓값 탄젠트 그래프의 교점으로 확장됩니다. 삼각함수 단원의 3·18·20번은 좌표와 각의 범위로 부호를 정하는 기초가 중요하며, 이 기초가 그래프 해석에도 이어집니다.

지수의 1·4번은 계산 규칙과 거듭제곱근의 실수 여부를, 지수함수의 16·17번은 이동과 치환을 확인합니다. 특히 10번과 17번은 모두 이차함수로 바꿀 수 있지만 치환한 변수의 범위가 다릅니다. 치환식 옆에 범위를 적는 습관을 단원 공통의 풀이 절차로 익히세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 조건을 연결하는 과정이 두드러지는 분석상 고난도 문항입니다. 12번은 여러 구간의 교집합, 15번은 주기와 거리, 21번은 로그와 좌표 해석을 연결합니다. 공통적으로 식을 바로 계산하기보다 가능한 위치와 범위를 먼저 그려야 풀이 방향이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 익숙한 치환이 보이는 문항을 확보하세요. 12~15번에서 구간 정리나 그래프 해석이 길어지면 표시하고 서술·단답형을 확인하는 운영이 좋습니다. 16번의 이동과 점근선, 17번의 이차식 치환처럼 출발점이 분명한 문제를 뒤에 남긴 채 객관식에 시간을 모두 쓰지 않도록 연습하세요.

로그에서는 계산 전 정의 조건을 적고 계산 후 다시 대조하세요. 5번은 밑과 진수의 조건을 동시에 만족해야 하며, 11번은 부등식을 풀어 얻은 범위와 원래 진수 조건을 겹쳐야 합니다. 19번은 치환된 근이 나중에 로그의 밑으로 쓰일 때의 조건도 점검해야 합니다. 조건을 처음에만 적고 마지막에 확인하지 않는 습관을 경계하세요.

삼각함수에서는 각의 범위와 부호가 검토의 중심입니다. 18번은 부호 조건을 만족하는 중심각을 골라야 하고, 20번은 제곱근을 삼각함수의 합과 차로 바꿀 때 그 부호를 정해야 합니다. 마지막 검토 시간에는 긴 계산을 처음부터 반복하기보다 정의역, 구간 끝점, 치환 범위, 그래프의 주기와 점근선을 순서대로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수법칙과 거듭제곱근을 복습하세요. 근호를 지수로 바꾸는 계산과 지수의 홀짝에 따른 실수 근의 개수를 구분하세요(1·4번 대비).
2. 로그의 정의 조건과 밑의 변환을 묶어 연습하세요. 지수로 주어진 관계를 로그로 옮기고 공통인 밑으로 정리하는 과정을 익히세요(2·5·6·9번 대비).
3. 지수·로그함수의 그래프 이동과 대칭을 그리세요. 점근선, 일정한 세로 간격, 역함수의 대칭을 각각 설명하는 연습을 하세요(7·14·16번 대비).
4. 치환할 때 변수 범위를 먼저 쓰세요. 이차함수의 꼭짓점과 끝점, 근과 계수의 관계를 활용하는 유형을 이어서 풀어 보세요(10·17·19번 대비).
5. 동경과 사분면으로 삼각함수의 부호를 판단하세요. 중심각의 선택과 제곱근의 부호 복원을 별도로 점검하세요(3·18·20번 대비).
6. 삼각함수 그래프의 진폭·주기·대칭을 정리한 뒤 로그와 결합된 부호표, 교점의 거리 문제로 확장하세요(8·12·15번 대비).
7. 좌표 조건을 도형으로 바꾸는 연습을 하세요. 정수 좌표의 범위를 세는 문제와 선분 위 점의 기울기로 최대·최소를 보는 문제를 함께 복습하세요(13·21번 대비).