개포고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

개포고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 지수, 로그, 지수함수, 로그함수, 삼각함수입니다. 거듭제곱근과 로그의 계산뿐 아니라 함수의 대칭, 교점, 합성함수의 최솟값과 부채꼴의 넓이까지 다룹니다.

같은 개념을 다른 표현으로 옮기는 능력이 중요합니다. 지수식은 치환을 통해 대수식으로, 로그부등식은 진수 사이의 대소 관계로 바꾸어 접근합니다. 삼각함수에서는 각의 범위를 먼저 정하고 도형의 길이를 삼각비로 나타내야 식 계산의 방향이 잡힙니다.

서술·단답형도 기본적인 삼각함수 식 정리부터 조건을 나누는 거듭제곱근 문제까지 폭이 넓습니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤에야 서술·단답형을 보려 하면 접근 가능한 문항을 늦게 발견할 수 있습니다. 전체 구성을 먼저 살피고, 조건을 정리할 수 있는 문제부터 풀이를 완성하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 로그 문제

쉬움 문항은 초반과 서술·단답형의 시작인 17번에 있습니다. 거듭제곱근의 의미, 삼각함수 사이의 관계, 로그의 기본 성질을 확인하는 구간입니다. 다만 5번처럼 일반각을 다루는 문제는 대표각만 생각하면 가능한 동경의 위치를 빠뜨릴 수 있으므로 개념을 정확히 적용해야 합니다.

보통 문항은 가장 큰 비중을 차지하며 활용과 조건 해석을 포함합니다. 8번은 지수식의 치환, 9번은 근삿값 대신 범위를 이용한 정수부분 판단, 13번은 그래프의 대소와 진수 조건의 결합이 필요합니다. 기본 공식을 안다는 것과 풀이의 순서를 정한다는 것은 별도로 연습해야 합니다.

어려움은 11번에서 등장하고 14~16번에 이어집니다. 이 구간에서는 정수부분의 구간화, 역함수의 대칭, 절댓값에 따른 교점 분류, 도형의 좌표화가 요구됩니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 일치한다고 단정할 수 없지만, 여러 표현을 연결하는 단계에서 시간이 걸릴 수 있는 구성입니다.

출제 단원 — 로그함수의 그래프와 조건 해석

로그함수는 단순한 방정식 계산을 넘어 그래프 위 점의 좌표와 기하 관계를 함께 다룹니다. 14번은 역함수의 대칭과 교점의 위치, 15번은 절댓값을 포함한 교점과 기울기, 16번은 수직 관계를 좌표로 바꾸는 과정이 중요합니다. 같은 단원 안에서도 서로 다른 출발점을 익혀야 합니다.

삼각함수는 항등식 계산, 사분면과 부호, 원과 접선을 이용한 길이 관계, 겹친 영역의 넓이로 나뉩니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 없지만, 각의 범위를 생략하거나 넓이를 중복해서 더하면 풀이가 어긋납니다. 공식 적용 전에 도형과 범위를 표시하는 습관이 필요합니다.

지수와 로그의 기본 성질도 뒤 문항의 토대입니다. 21번은 근호의 차수와 절댓값, 18번은 밑의 변환과 부등식의 등호 조건, 23번은 일정 비율로 감소하는 상황의 모델링을 다룹니다. 지수함수의 6·12번은 대칭이동과 밑의 범위에 따른 성질을 정확히 구분하는 연습에 활용하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 조건 연결의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 그래프나 집합의 조건을 대수식으로 바꾼 뒤 원래 의미로 돌아가 검증해야 한다는 것입니다. 연습할 때 계산 옆에 적용한 조건을 짧게 적어 두면 오류가 생긴 단계를 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 접근이 보이는 문제를 확보하세요. 11번의 구간 분류나 14~16번의 그래프 해석이 길어지면 표시하고 서술·단답형도 확인하세요. 17번의 식 정리와 19번의 단조성 판단처럼 풀이 방향이 비교적 빨리 잡히는 문제를 먼저 마치는 운영을 연습할 수 있습니다.

로그 문제는 계산에 들어가기 전에 진수 조건을 따로 적으세요. 13번은 그래프에서 얻은 대소 구간과 정의 가능한 구간이 같지 않을 수 있고, 22번은 방정식을 거듭제곱 형태로 바꾼 뒤에도 부호 조건이 남습니다. 23번은 로그값을 나누는 단계에서 부등호 방향을 검토해야 하므로 변형 이유를 생략하지 않는 편이 좋습니다.

마지막 검토는 후보의 적합성을 중심으로 하세요. 5번은 일반각의 회전수, 18번은 등호 성립 가능성, 21번은 순서쌍의 누락과 불필요한 후보를 확인해야 합니다. 특히 21번 자료에는 잘못 제시한 경우에 대한 감점 안내가 있으므로, 가능한 경우를 많이 적기보다 각각이 모든 조건을 만족하는지 검증하는 것이 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거듭제곱근의 실수 조건과 지수법칙을 복습하세요. 근호 차수의 홀짝, 절댓값, 범위 비교를 구분한 뒤 조건을 결합하세요(1·9·21번 대비).
2. 삼각함수의 기본 관계와 일반각을 연습하세요. 식을 제곱하거나 각을 나누기 전에 부호와 회전수 정보를 적어 보세요(2·3·5·17번 대비).
3. 지수함수의 밑과 대칭이동을 정리하세요. 활용식에서는 반복되는 지수 부분을 치환하고 다른 시점과의 관계를 확인하세요(6·8·12번 대비).
4. 로그부등식과 정수부분 문제를 구간으로 표현하세요. 진수 조건을 먼저 쓰고 경우별 교집합과 경계의 포함 여부를 표시하세요(10·11·13번 대비).
5. 로그함수의 교점과 도형을 연결하는 문제를 연습하세요. 대칭·단조성으로 위치를 좁히는 풀이와 좌표로 기울기·길이를 계산하는 풀이를 비교하세요(14·15·16번 대비).
6. 최솟값과 조건 검증을 묶어 복습하세요. 부등식의 등호 조건, 합성함수의 정의 가능성, 집합의 공통 원소 존재를 끝까지 확인하세요(18·19·22번 대비).
7. 도형과 실생활 문장을 식으로 옮기세요. 넓이의 중복과 기간의 정수 조건을 확인하는 검토까지 포함해 풀이를 완성하세요(7·20·23번 대비).