청담고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

청담고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

청담고등학교의 지역 정보는 서울 서초구입니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법, 삼각함수활용입니다. 수열의 일반항과 합을 다루는 계산에 사인법칙·코사인법칙을 이용한 도형 해석, 귀납적 관계와 증명이 함께 출제되어 있습니다.

수열은 주어진 표현을 익숙한 구조로 고치는 능력이 중요합니다. 지수와 로그로 표현된 조건을 공차·공비로 읽거나, 부호가 번갈아 붙는 합에서 특정 위치의 항을 골라내야 합니다. 합으로부터 일반항을 구한 뒤에는 첫째항까지 같은 식을 적용할 수 있는지도 따져야 합니다.

도형은 기본 삼각형의 변을 구하는 데서 시작해 외접원, 접선, 닮음이 결합된 형태로 확장됩니다. 서술·단답형에는 수열과 삼각형의 기본 구조를 정리하는 문항도 있으므로 객관식 후반에서 막혔다고 남은 문제를 모두 어렵게 예상할 필요는 없습니다. 마지막에는 계산 결과와 별도로 증명 과정을 완성하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2·5번입니다. 등비중항과 로그의 성질, 합 기호의 성질, 사인법칙처럼 기본 개념을 정확히 적용하는 문제입니다. 짧은 계산에서도 합 안의 상수항 처리와 각의 대변 대응을 확인해야 하므로 무조건 암산으로 넘기지 마세요.

보통 문항은 객관식 초·중반과 서술·단답형 16~20번에 분포합니다. 절댓값에 따른 경우 구분, 삼각형의 성립 조건, 첫째항의 예외처럼 작은 조건이 풀이 방향을 결정합니다. 이 구간을 안정적으로 풀어야 후반의 도형 해석과 증명에 시간을 남길 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움인 11~15번은 연속해서 배치되어 있습니다. 합의 부호 구조를 분석하거나 도형의 성질을 여러 단계로 연결해야 하며, 21번은 귀납법의 형식을 갖춰야 합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 기준은 아니지만, 풀이 단계가 길어질 수 있는 위치를 파악하는 데 도움이 됩니다.

출제 단원 — 수열과 삼각함수활용의 비중

등차등비수열에서는 일반항을 바로 쓰는 유형과 조건을 변환하는 유형을 함께 준비해야 합니다. 3번은 지수·로그 조건, 7번은 절댓값 조건, 10번은 서로 다른 구간의 부분합을 연결합니다. 11번은 번갈아 부호가 붙는 합을 별도의 등비수열로 해석해야 하므로 공식 암기만으로 접근하기 어렵습니다.

삼각함수활용은 기본 사인법칙에서 원과 접선의 성질까지 이어집니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 12·14·15번에 놓여 있습니다. 공식을 많이 쓰는 것보다 필요한 각을 어디서 얻고 어느 삼각형에 법칙을 적용할지 정하는 능력이 중요합니다.

수열의합은 합 기호의 성질, 부분분수, 상황을 식으로 표현하기, 부분합에서 항을 복원하기를 다룹니다. 수학적귀납법 단원의 13·17번은 귀납적으로 정의된 수열을 해석하고 21번은 등식의 증명을 요구합니다. 단원 이름이 같아도 점화식 해석과 증명 쓰기는 따로 훈련하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 연결의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 필요한 중간 관계를 스스로 만들어야 하므로, 풀이를 복습할 때 계산 줄보다 각 관계를 얻은 근거를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 공식과 조건이 바로 연결되는 문항을 먼저 해결하세요. 객관식 11~15번에서 풀이가 길어지면 표시하고 서술·단답형 16~20번도 확인하는 운영이 좋습니다. 고난도 도형 하나에 오래 머물기보다 전체 문항의 접근 가능성을 살핀 뒤 돌아오는 연습을 하세요.

수열 검토에서는 지표와 부호를 우선 확인하세요. 9번은 부분합의 차로 얻은 식이 첫째항에도 맞는지 확인할 수 있지만, 20번은 첫째항을 따로 처리해야 합니다. 11번의 교대 부호와 17번의 항의 차는 새 수열의 시작 부호를 적어 두면 실수를 줄일 수 있습니다.

도형 검토에서는 6번의 삼각형 성립 조건, 12번의 중심 위치, 15번의 넓이 비를 확인하세요. 18·19번은 수선을 그은 뒤 길이를 합하는 근거도 점검해야 합니다. 21번에 필요한 증명 시간을 남기고, 연습 중에는 조건 해석과 계산 중 어느 단계에서 멈췄는지 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항을 복습하고 지수·로그 조건을 항의 차와 비로 고쳐 보세요. 절댓값에 따른 경우도 빠짐없이 정리하세요(1·3·7·16번 대비).
2. 합 기호의 성질과 부분분수를 연습하세요. 상황을 일반항으로 표현한 뒤 합을 계산하고, 소거 후 남는 처음과 끝 항을 표시하세요(2·4·8번 대비).
3. 부분합에서 항을 복원하는 연습을 하세요. 첫째항을 따로 확인한 뒤 지표를 바꾸거나 부분합 조건을 결합해 보세요(9·10·20번 대비).
4. 홀짝에 따라 항을 분리하거나 이웃한 항의 차를 새 수열로 두는 연습을 하세요. 원래 수열로 돌아올 때 누적 범위를 확인하세요(11·17번 대비).
5. 사인법칙과 코사인법칙의 적용 대상을 그림에 표시하세요. 기본 삼각형에서 시작해 삼각형 성립 조건과 수선 활용으로 확장하세요(5·6·18·19번 대비).
6. 원주각·접선·닮음을 삼각함수와 연결하세요. 반복 도형에서는 기준점을 바꾼 거리로 점화식을 만들고, 넓이 비와 길이 비도 구별하세요(12·13·14·15번 대비).
7. 팩토리얼 변형을 복습한 뒤 귀납법 증명을 문장으로 완성하세요. 귀납 가정에 다음 항을 더하는 이유와 결론을 설명하세요(21번 대비).