효원고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

효원고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

효원고등학교는 수원시에 있습니다. 이 시험은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용을 다룹니다. 극한값과 미분계수를 직접 계산하는 기본형에서 시작해 연속 조건, 도함수의 부호, 접선과 도형의 관계로 확장되는 구성입니다.

같은 개념도 표현 방식에 따라 접근이 달라집니다. 미분계수는 도함수에 대입하는 형태뿐 아니라 차분몫의 변형으로 등장하고, 연속성은 주어진 그래프를 읽거나 교점 개수로 새롭게 정의된 함수를 분석하는 데 쓰입니다. 공식을 외운 뒤 적용할 대상을 찾아내는 연습이 중요합니다.

후반에는 한 문항 안에서 여러 판단이 이어집니다. 불연속 지점을 찾아 곱의 연속 조건을 세우거나, 도형에서 가장 먼 점을 결정한 뒤 구간별 미분을 해야 합니다. 계산을 길게 시작하기보다 구간, 경계, 정리의 적용 조건을 먼저 적는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 13번부터 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움에 속하는 문항은 미분 공식, 그래프에서의 극한, 롤의 정리, 연속 조건, 극값 계산을 확인합니다. 다만 3번은 분모와 함수 입력의 변화량을 맞춰야 하고, 11번은 도함수의 부호 변화를 확인해야 하므로 단순 대입만으로 처리하는 습관은 피하세요.

보통 문항은 4·5·8·9·10·12번입니다. 그래프의 연속성과 미분가능성, 수직인 접선, 여러 극한 조건의 결합, 거리의 차를 다룹니다. 특히 4번의 정리 적용 조건과 12번의 근호에서 나오는 부호는 계산이 짧아도 놓치기 쉬운 부분입니다.

13~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 앞 구간을 안정적으로 마친 뒤에도 후반에 충분한 풀이 시간을 남겨야 합니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 새 함수를 구성하고 경계를 점검하는 과정이 후반에 집중된다는 점은 학습 계획에 반영할 만합니다.

출제 단원 — 미분 중심으로 연결되는 극한과 연속

미분계수와도함수는 직접 미분, 변화량의 조정, 접선, 미분가능성 조건으로 나뉩니다. 3·9번에서는 극한식을 차분몫으로 바꾸는 능력이 필요하고, 16·19번에서는 특정 지점의 함수 조건을 다항식의 인수 구조로 옮겨야 합니다. 같은 단원 안에서도 계산형과 조건 해석형을 함께 준비하세요.

도함수의활용은 정리의 전제 확인과 그래프 해석이 중심입니다. 4·6번은 연속성과 미분가능성이 확보되는 구간을 구별해야 하며, 11·14번은 도함수의 근과 부호로 극값과 단조성을 판단합니다. 20번에서는 접점의 관계와 평행한 직선 사이의 거리까지 연결됩니다.

극한과 연속도 독립된 계산 단원으로만 공부해서는 부족합니다. 15번은 공통현의 길이를 식으로 나타내는 도형 해석이 먼저이고, 13·18번은 교점 개수가 바뀌는 경계를 읽어야 합니다. 그래프나 도형에서 필요한 관계를 추출하는 연습을 기본 계산과 병행하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산할 함수를 직접 구성하거나 기하 조건을 먼저 번역해야 한다는 것입니다. 식을 얻은 뒤에도 구간 경계와 등호 조건으로 돌아와 검토해야 풀이가 완성됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~12번의 기본형을 안정적으로 확보하되, 그래프 판단이 길어지는 4·10번은 조건을 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 이후 13~19번을 훑어 출발점이 보이는 문제부터 풀어 보세요. 후반을 번호 순서대로 모두 해결한 뒤 20번을 시작하면 서술 근거를 정리할 시간이 부족해질 수 있습니다.

20번은 함수 개형을 정리하는 부분과 접선의 거리 관계를 검토하는 부분을 나누어 접근하세요. 앞부분에서 확인한 도함수와 그래프 정보를 기록해 두면 뒷부분의 접점 관계를 정리할 때 활용할 수 있습니다. 연습할 때도 최종 계산뿐 아니라 구간 설정과 서술에 걸린 시간을 함께 확인하세요.

검토에서는 2·10번의 함숫값과 극한값, 4·6번의 정리 적용 조건, 12번의 근호 부호를 우선 살피세요. 13·18번은 경계에서의 교점 개수, 16·19번은 연속과 미분가능의 구별이 중요합니다. 17번은 구간이 바뀌는 지점, 20번은 수직거리의 등호 조건이 풀이에 반영되었는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고 합·곱·몫의 연속성을 판단하세요. 경계의 채워진 점을 빠뜨리지 않는 연습이 우선입니다(2·7·10번 대비).
2. 미분 공식 다음에는 차분몫의 변형을 연습하세요. 입력 변화량을 맞추는 방식과 분자를 더하고 빼서 분리하는 방식을 구별하세요(1·3·9번 대비).
3. 접선 기울기, 롤의 정리, 극값을 복습하세요. 정리의 전제를 먼저 쓰고 도함수의 부호로 결론을 확인하세요(4·5·6·11·14번 대비).
4. 극한 조건으로 다항식을 결정하고 거리의 차를 유리화하는 유형을 연습하세요. 도형에서는 길이 관계를 식으로 옮기는 단계부터 설명해 보세요(8·12·15번 대비).
5. 구간별 함수와 절댓값 함수의 경계에서 연속과 좌우 미분계수를 차례로 검사하세요. 다항식의 인수 조건으로 연결하는 연습을 하세요(16·19번 대비).
6. 교점 개수나 최대 거리로 정의된 함수를 직접 구성하세요. 구간 경계와 접하는 순간을 따로 적고 접선 거리의 기하 조건까지 확장하세요(13·17·18·20번 대비).