배명고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

배명고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의극한, 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극한과 미분의 기초를 바탕으로 최적화와 적분의 응용까지 연결하는 시험입니다.

미분에서는 증가와 감소, 최댓값과 최솟값을 여러 맥락에 적용합니다. 판매 이익, 그림자의 움직임, 도형의 넓이처럼 식을 세우는 과정이 필요한 문항도 있습니다. 같은 도함수 계산을 하더라도 무엇을 변수로 정했는지에 따라 풀이의 출발점이 달라집니다.

적분에서는 공식을 적용하는 능력 외에 등식의 구조를 읽는 능력을 확인합니다. 적분 구간이 고정된 값은 상수로 처리하고, 적분 끝에 변수가 있으면 미분과 연결해야 합니다. 서술·단답형도 부등식 증명에서 함수의 차를 활용한 추론까지 성격이 달라, 번호만 보고 풀이 순서를 정하기 어렵습니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 후반의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·3·7·12·18번입니다. 인수분해를 통한 극한, 도함수를 이용한 최대·최소, 속도에서 이동 거리 구하기처럼 기본 접근을 확인합니다. 다만 12번은 방향 전환, 18번은 정의역 전체에서 부등식이 성립한다는 근거가 필요하므로 단순 계산만 남기는 풀이를 피하세요.

보통 문항은 시험 전반에 걸쳐 있습니다. 5·8번은 극한을 미분계수로 바꾸는 관점이 중요하고, 9번은 연속성과 좌우 미분계수를 순서대로 확인해야 합니다. 11·19·21번은 적분식의 형태를 바꾼 뒤 계산해야 하므로, 분류가 보통이어도 첫 식을 정리하는 데 시간이 걸릴 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 17·20번입니다. 17번에서는 절댓값과 접합점의 미분가능성을, 20번에서는 함수의 차와 도함수의 근을 연결해야 합니다. 이 분포는 자동 분류 결과로 읽어야 하며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료로 볼 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 미적분의 연결

도함수의활용은 2·3·6·7·10·15·17·18번입니다. 단조성의 조건, 실생활 변화율, 그래프 해석, 넓이의 최댓값, 부등식 증명까지 다룹니다. 도함수의 부호표를 만드는 연습에 더해 그 결과를 원래 문항의 문장으로 되돌리는 연습이 필요합니다.

함수의극한과 미분계수와도함수는 서로 연결해 학습하는 편이 좋습니다. 1번의 인수분해, 5·8번의 미분계수 해석, 9번의 경계 처리, 16번의 도형 조건 변환은 극한을 구하기 전에 식의 의미를 정리하는 과정입니다. 20번은 기울기 조건을 도함수의 근으로 표현하는 데서 풀이가 간결해집니다.

정적분과 정적분의활용에서는 등식 처리와 기하적 의미를 구별하세요. 4·11·21번은 적분식을 상수나 함수로 읽는 문제이고, 12·13번은 속도의 부호와 이동 거리를 연결합니다. 14번은 넓이를 매개변수의 함수로 만든 뒤 최소화하며, 부정적분의 19번은 곱의 미분법을 거꾸로 인식해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

여기서 고른 문항은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 해석과 함수 설정에 주목한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 식을 그대로 계산하기보다 절댓값의 접합 조건, 함수의 차, 넓이의 제곱으로 바꾸어 보는 데 있습니다. 새로 정한 함수가 무엇을 나타내는지 옆에 적고 원래 조건으로 돌아와 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 인수분해나 부호표처럼 출발점이 분명한 문항을 먼저 처리하세요. 17번의 접합 조건에서 경우 정리가 길어지면 표시하고 서술·단답형을 확인하는 편이 좋습니다. 18번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 객관식 마지막 문항에 머무르다가 증명 문제를 읽을 시간을 잃지 않도록 연습하세요.

서술·단답형에서는 결론을 계산하기 전 필요한 근거를 짧게 적어 두세요. 18번은 정의역과 최소의 근거, 19번은 곱의 미분법과 적분상수 처리, 20번은 함수의 차의 도함수가 갖는 근이 핵심입니다. 21번은 적분을 함숫값의 차로 바꾸고 미분계수 형태에 맞출 때 생기는 배율을 별도로 표시하면 좋습니다.

마지막 검토에서는 비슷해 보이는 대상을 구별하세요. 6번의 그림자 길이와 그림자 끝의 위치, 10번의 도함수 그래프와 원래 함수 그래프, 12·13번의 위치 변화량과 이동 거리는 서로 다릅니다. 7번의 구간 끝점, 9번의 연속 조건, 15번의 교점 존재 범위도 함께 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해로 극한을 정리한 뒤 미분계수 정의로 읽는 연습을 하세요. 극한이 존재하기 위한 조건과 분모의 증가량을 함께 표시하세요(1·5·8번 대비).
2. 미분가능성은 연속성을 확인한 다음 좌우 미분계수를 비교하는 순서로 연습하세요. 정수 부분과 절댓값이 포함되면 경계 주변의 식부터 나누세요(9·17번 대비).
3. 도함수의 부호표로 단조성, 극값, 최대·최소를 구분하세요. 구간 끝점과 정의역을 확인한 뒤 부등식의 성립까지 문장으로 설명하세요(2·3·7·10·18번 대비).
4. 실생활과 도형 조건을 함수로 만드는 연습을 하세요. 무엇의 위치나 넓이를 나타내는지 정의하고 변수의 허용 범위를 먼저 적으세요(6·15·16번 대비).
5. 적분 등식에서는 고정된 적분값, 변수 끝의 정적분, 곱의 도함수 형태를 구분하세요. 적분상수와 대입할 기준점을 빠뜨리지 마세요(4·11·19·21번 대비).
6. 속도의 부호표로 이동 거리를 구하고, 곡선 사이의 넓이는 위아래 관계부터 확인하세요. 최소화 문제에서는 매개변수의 부호와 등호 조건까지 점검하세요(12·13·14번 대비).
7. 함수의 차를 새로 정해 같은 함숫값과 기울기 조건을 통합하세요. 전체 계수를 계산하는 방법과 도함수의 근을 활용하는 방법을 비교해 보세요(20번 대비).