배명고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

배명고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

배명고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산부터 그래프의 연속성, 접선과 극값까지 이어지므로 개념의 연결을 함께 복습해야 합니다.

초반에는 대입과 인수분해를 통한 극한 계산, 평균변화율, 접선의 방정식, 롤의 정리 같은 기본형이 나옵니다. 다만 그래프를 보고 연속성과 미분가능성을 구별하거나 도함수의 부호로 원함수의 증감을 읽는 문항도 섞여 있습니다. 식을 계산하는 능력과 그림을 해석하는 능력이 모두 필요합니다.

중후반에는 항등식, 곱의 미분법, 구간별 함수의 연결 조건이 등장합니다. 서술·단답형 역시 합성함수의 극한, 극값, 최소 차수, 교점에서의 접선으로 내용이 나뉩니다. 문항마다 필요한 출발점이 달라지므로, 조건을 어떤 개념으로 옮길지 판단하는 연습이 효과적입니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심과 마지막 문항의 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 분포하지만, 4·7번의 보통 문항이 그 사이에 있습니다. 번호가 앞이라고 모두 단순 계산은 아닙니다. 특히 그래프에서 극한의 존재와 연속, 미분가능성을 한꺼번에 판단하려 하면 조건이 섞일 수 있으므로 각 판단 기준을 구분해 적용하세요.

보통 문항의 비중이 가장 큽니다. 9~16번은 연속 조건으로 식을 복원하거나 미분 항등식을 다루는 등 시작 방법을 선택해야 합니다. 계산량만 줄이려 하기보다 주어진 정보가 함숫값인지, 미분계수인지, 모든 입력에서 성립하는 관계인지 표시하면 풀이의 출발점을 찾기 쉽습니다.

어려움은 17·21번에 배치되어 있습니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 17번의 전 구간 연속 조건과 21번의 거리·교점·미분 결합은 별도로 연습하되, 서술·단답형의 보통 문항에도 풀이 근거를 적을 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 도함수 활용과 미분가능성의 연결

도함수의활용은 접선, 롤의 정리, 증감과 극값을 폭넓게 다룹니다. 5번의 접선 기본형을 익힌 뒤 12번에서는 곱의 구조를 유지하고, 15번에서는 원래 함수와 제곱한 함수의 접선을 구별해야 합니다. 같은 접선 문제라도 어떤 함수의 값과 도함숫값이 필요한지 먼저 정리하세요.

미분계수와도함수에서는 10·20번의 구간별 함수가 서로 연결됩니다. 연결점에서 연속 조건과 기울기 조건을 함께 세우는 것이 공통점입니다. 20번에는 차수가 가장 낮아야 한다는 조건이 더해지므로, 계수를 구하는 연습에서 낮은 차수를 배제하는 설명까지 확장하는 편이 좋습니다.

함수의연속은 단순 판정에서 성질의 참·거짓과 전 구간 연속으로 확장됩니다. 함수의극한도 계산형뿐 아니라 그래프의 접근 방향과 합성함수의 입력 변화를 다룹니다. 단원 이름만 보고 연습을 나누기보다 연속으로 함숫값을 확인하고 극한식을 변형하는 흐름을 함께 익히세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 선정은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리와 서술 부담을 근거로 한 분석상 고난도 문항 안내입니다. 공통점은 계산 전에 식의 구조를 정해야 한다는 점입니다. 분모의 실근, 최소 차수, 교점의 근이라는 출발 조건을 먼저 적으면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 극한 계산과 기본 접선처럼 접근이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 그래프 판단 문항은 근거를 짧게 표시하고 넘어가되, 확신이 없는 진술은 검토 대상으로 남겨 두세요. 17번에서 조건 처리가 길어지면 서술·단답형 18~20번을 먼저 확인해 풀이 순서를 조정하는 편이 좋습니다.

서술·단답형에서는 계산 전에 출발 근거를 적어 두세요. 18번은 합성함수 안쪽의 극한, 19번은 도함수의 부호 변화, 20번은 연결점의 값과 기울기, 21번은 거리와 가로좌표 차의 관계가 핵심입니다. 풀이를 마친 뒤 기억으로 설명을 붙이기보다 조건에서 계산으로 넘어가는 순간에 근거를 남기는 연습을 하세요.

마지막 검토는 빠뜨린 조건에 집중하세요. 2·4·8번은 정의역과 접근 방향, 6번은 열린구간 안의 지점, 10·20번은 연속과 미분 조건의 동시 충족을 살펴야 합니다. 14·17번은 경계와 정수·자연수 조건, 15번은 길이의 부호, 21번은 교점 순서를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 계산과 그래프 읽기를 함께 복습하세요. 대입, 인수분해, 최고차항 비교를 고른 뒤 좌우 접근 방향을 표시해 보세요(1·8번 대비).
2. 연속의 정의와 연산 성질을 정리하세요. 정의역·함숫값·극한을 나누어 확인하고, 성질을 거꾸로 적용한 주장에는 반례를 만들어 보세요(2·9·16번 대비).
3. 미분계수의 정의와 항등식을 연결하세요. 평균변화율과 접선 기울기를 구별하고, 함수 관계식을 차분의 형태로 옮겨 보세요(3·11·13번 대비).
4. 구간별 함수는 연결점의 값과 기울기를 표로 정리하세요. 조건을 만족하는 식을 찾은 뒤 낮은 차수를 배제하는 설명까지 연습하세요(4·10·20번 대비).
5. 접선과 극값의 기본형을 복습하세요. 곱의 구조를 보존하고 도함수의 부호표를 그린 뒤 제곱한 함수나 매개변수 조건으로 확장하세요(5·6·7·12·14·15·19번 대비).
6. 조건을 결합하는 문제를 마지막에 연습하세요. 분모의 모든 실근을 검사하는 유형, 합성함수의 극한을 분해하는 유형, 교점의 거리로 근의 차를 구하는 유형을 설명하며 풀어 보세요(17·18·21번 대비).