대전고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

대전고 2학년 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

대전고등학교는 대전 중구에 있습니다. 이번 시험의 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한값 계산에서 시작해 접선, 증가와 감소, 극값과 실근 개수까지 연결됩니다.

초반에는 다항함수의 미분과 접선의 방정식처럼 익숙한 계산을 확인합니다. 이어 극한식을 미분계수로 읽거나 일대일 조건을 도함수의 부호로 바꾸는 해석이 필요합니다. 공식을 아는 것과 조건에 맞는 공식을 고르는 것을 함께 연습해야 합니다.

후반에는 구간별 정의, 절댓값, 교점 개수처럼 경우를 나눌 요소가 많아집니다. 연속성을 확인한 뒤 좌우 미분계수를 비교하고, 인수분해 뒤에는 접촉과 교차를 구분하세요. 서술·단답형도 기본 극한부터 복합 조건까지 성격이 다르므로 형식만 보고 풀이 순서를 정하기 어렵습니다.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 해석

쉬움 문항은 무한대에서의 극한, 순간변화율, 곱의 미분과 계수 결정, 다항함수의 극한입니다. 1~3번과 7번에서 계산을 안정적으로 끝내고, 서술·단답형인 20번도 빠르게 확인하는 편이 좋습니다. 쉬운 유형에서도 대입 위치와 미분 전후의 식을 혼동하지 마세요.

보통 구간은 4~6번과 8~11번입니다. 유리화와 연속 조건, 닫힌구간의 최대·최소, 단조 조건, 미분계수의 정의가 핵심입니다. 계산에 앞서 끝점을 포함하는지, 부등식을 나누는 수의 부호가 무엇인지 점검해야 합니다.

12번부터는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어지며 20번에서 쉬움으로 돌아옵니다. 21·23번은 서술·단답형이지만 22번은 객관식입니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없으나, 후반의 경우 분류에 대비할 필요성을 보여 줍니다.

출제 단원 — 미분의 계산에서 조건 판단으로

가장 많은 미분계수와도함수는 단순 미분에서 출발해 변형된 극한, 접선 기울기, 구간별 함수의 미분가능성으로 확장됩니다. 9·11번에서는 극한식의 분자를 함수값의 차로 읽어야 합니다. 12·19·23번에서는 경계와 꺾이는 점을 찾아 조건을 세우는 일이 중요합니다.

도함수의활용은 접선과 최대·최소뿐 아니라 그래프와 실근의 관계를 다룹니다. 13번의 공통접선은 접선의 기울기와 절편을 함께 맞추어야 하고, 15·17번은 극값과 수평선의 위치를 연결합니다. 도함수의 근만 구하고 끝내지 말고 부호표와 개형까지 완성하세요.

극한과 연속도 기본 계산으로만 대비하기 어렵습니다. 16번은 도형의 넓이를 극한식으로 만들고, 18번은 교점 개수를 세는 함수의 불연속을 살핍니다. 22번은 대칭축과 구간 안의 실근을 연결하므로 연속성의 정의와 사잇값의 정리를 그래프에 적용하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 대전 지역의 단원 구성 차이

같은 2025학년도 2학년 1학기 중간고사 수학II를 치른 대전 지역 학교들과 비교하면, 대전고는 지역 평균 21.5문항보다 전체 문항이 많고 서술·단답은 평균 3.5문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 48%로 지역 평균 56%보다 낮으며, 3개교 중 2위입니다. 표의 비율은 정수로 표시했습니다.

가장 많은 단원은 대전고가 미분계수와도함수, 충남고등학교가 함수의극한, 대전대성고등학교가 도함수의활용입니다. 따라서 대전고를 준비할 때는 미분 계산을 출발점으로 극한식의 변형과 미분가능 조건까지 이어서 연습하세요. 어려움 비율만으로 부담을 판단하기보다 후반 문항에서 조건을 정리하는 속도를 점검하는 편이 유용합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 조건을 변환하고 경우를 검토하는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준 어려움 안에서의 확정 순위는 아닙니다. 공통적으로 경계가 되는 위치를 먼저 찾고, 각 위치에서 필요한 조건을 구분해 적는 것이 풀이의 출발점입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 20번을 먼저 확인하세요. 12번 이후 풀이가 길어지면 도출한 관계만 남기고 다음 문항을 살펴보는 연습이 필요합니다. 특히 서술·단답형을 마지막에 한꺼번에 처리하려 하면 접근하기 쉬운 20번까지 늦어질 수 있습니다.

경계가 있는 문항은 식 계산 전에 확인할 점을 표시하세요. 12번은 연속과 미분가능 조건, 14번은 분모의 영점과 정의식의 경계, 23번은 절댓값의 꺾이는 점과 접합점이 중요합니다. 연속 조건만 확인하고 미분가능하다고 결론 내리지 않도록 조건별로 줄을 나누어 쓰세요.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 6번은 닫힌구간의 끝점, 10번은 음수로 나누는 부등식, 15번은 서로 다른 실근과 중근의 구별, 16번은 접근 방향에 따른 길이 차를 확인합니다. 22번에서는 열린구간과 계수의 정수 조건을 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한의 기본 계산과 다항함수의 연속성을 정리하세요. 유리화 전에 분자가 사라질 조건을 확인하는 습관을 들이세요(1·4·20번 대비).
2. 미분 공식과 접선의 방정식을 연습하세요. 함수값, 미분계수, 직선의 절편을 구별해 기록하세요(2·3·5·7번 대비).
3. 변형된 극한을 미분계수의 정의로 바꾸세요. 입력의 변화량에 맞는 분모를 만들고 남는 인수를 점검하세요(9·10·11번 대비).
4. 도함수 부호표와 개형을 연결하세요. 끝점 비교에서 단조 조건, 공통접선과 실근 개수 판단으로 확장하세요(6·8·13·15·17번 대비).
5. 구간별 함수의 연속과 미분가능 조건을 따로 연습하세요. 분모의 영점과 접촉·교차 지점도 함께 표시하세요(12·14·19·23번 대비).
6. 도형과 그래프의 조건을 식으로 옮기세요. 넓이의 밑변·높이, 교점 개수의 경계, 근의 중복도와 정수 조건을 확인하세요(16·18·21·22번 대비).