청원여자고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

청원여고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

청원여자고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형에서 출발해 다항식의 결정과 미분가능성 판단으로 이어집니다.

극한의 계산만 반복해서는 대응하기 어려운 구성입니다. 무한대에서의 극한은 최고차항을, 특정 지점에서의 극한은 분자의 소거 조건이나 미분계수를 알려 줍니다. 같은 극한식이라도 어느 지점으로 접근하는지에 따라 얻는 정보가 달라집니다.

연속과 미분을 다루는 문항에서도 원래 함수와 새로 만든 함수를 구별해야 합니다. 원래 함수가 불연속이어도 제곱이나 곱으로 만든 함수는 연속일 수 있습니다. 반대로 곱이 연속이라는 사실만으로 미분가능성까지 결론 내리면 안 됩니다. 정의에 따라 필요한 조건을 따로 적는 연습이 유효합니다.

난이도 분포 — 초반의 조건 해석과 후반의 연결 풀이

쉬움으로 분류된 1·2번은 그래프의 좌우 극한과 무리식의 유리화, 12번은 평균변화율을 다룹니다. 기본 절차가 명확한 문항을 먼저 확보하되, 접근 방향과 변화량의 순서를 확인해야 합니다. 12번처럼 뒤에 있는 기본 문항도 살펴볼 필요가 있습니다.

보통 문항인 5·6·7번에서는 대소 관계, 변형된 함수의 연속, 그래프에서 최댓값의 존재를 구별합니다. 단순 대입보다 적용할 개념을 고르는 과정이 중요합니다. 서술·단답형의 20번 역시 보통으로 분류되지만, 약분을 마친 뒤 극한값과 별도로 정의된 함숫값을 연결해야 풀이가 완성됩니다.

어려움은 마지막 문항에만 모여 있지 않습니다. 3·4번에서 다항식과 도형 조건의 해석이 먼저 나오고, 13~19번에는 미분가능성·항등식·지수에 따른 경우 구분이 이어집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 가장 많은 문항을 차지하며 서술·단답형의 18·19·21번에도 등장합니다. 유리화로 계산하는 기본형에서 지수의 대소 비교, 다항식의 최고차항과 낮은 차수 항 분석으로 확장됩니다. 단원명이 극한이어도 풀이에 도함수나 나머지 조건이 연결되므로 개념을 분리해서만 공부하지 마세요.

미분계수와도함수에서는 12번의 평균변화율과 달리, 11·14번에서 극한식을 미분계수의 정의로 변형해야 합니다. 13·16·17번은 구간별 함수의 경계 처리가 중심입니다. 미분 공식을 적용할 구간과 정의로 좌우를 비교할 지점을 먼저 구분하면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

함수의연속은 식과 그래프를 모두 사용합니다. 6번은 변형된 함수의 연속, 7번은 실제로 도달하는 최댓값·최솟값, 8번은 실근이 존재하는 구간을 다룹니다. 10번처럼 그래프의 교점 개수를 함수로 읽는 유형도 있어, 연속의 정의를 그래프의 빈 점과 경계 변화로 설명하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라, 조건을 변환하고 검토하는 단계가 많은 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 처음 주어진 식을 그대로 계산하기보다 구간별 식, 차수별 경우, 나눗셈 항등식으로 다시 표현해야 합니다. 연습할 때는 계산을 시작하기 전에 사용할 표현을 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 문항부터 처리하세요. 3·4번에서 조건 해석이 길어지면 표시하고 5~7번이나 12번을 확인하는 방식이 좋습니다. 객관식 후반을 모두 마칠 때까지 서술·단답형을 미루기보다, 20번처럼 연속 조건의 절차가 분명한 문항을 함께 살펴보세요.

풀이가 긴 문항은 계산 전에 구조를 짧게 남기세요. 17번은 각 인수의 구간, 18번은 지수의 대소, 19번은 무한대와 특정 지점에서 각각 얻는 정보를 적으면 재접근할 때 도움이 됩니다. 서술·단답형에서는 분자가 사라져야 하는 이유와 약분이 가능한 범위도 기록하세요. 실제 제한 시간에 맞춘 연습에서 조건 해석에 걸린 시간을 따로 확인하는 것이 좋습니다.

검토할 때는 계산 결과보다 판단의 전제를 먼저 보세요. 7번은 가까워지는 값과 실제 갖는 값을, 8번은 열린구간의 끝점을 구별해야 합니다. 14번은 치환 후 접근 방향, 16번은 연속과 미분가능성의 차이, 20번은 남아 있는 분모 인수를 확인하세요. 21번에서는 나머지의 차수를 정했는지와 항등식을 미분할 때 곱의 미분법을 빠뜨리지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌우 극한과 평균변화율부터 정리하세요. 함숫값과 극한값, 구간의 변화량을 따로 표시하는 습관을 들이세요(1·7·12번 대비).
2. 무리식의 유리화와 극한의 대소 관계를 복습하세요. 식을 정리한 뒤 남는 항의 차수를 비교하고, 지수에 따라 경우가 바뀌는 유형으로 확장하세요(2·5·18번 대비).
3. 극한 조건으로 다항식을 정하는 문제를 연습하세요. 무한대에서는 최고차항, 특정 지점에서는 소거되는 인수와 남는 항에 주목하세요(3·15·19번 대비).
4. 연속 조건을 좌극한·우극한·함숫값으로 나누어 쓰세요. 변형된 함수의 연속과 실근 존재 조건도 그래프와 부호표로 확인하세요(6·8·9·10·20번 대비).
5. 미분계수의 정의를 다양한 극한식에서 찾아보세요. 입력의 증가량을 분모와 맞추고, 치환 후 접근 방향을 확인한 뒤 곱의 미분법을 연결하세요(11·13·14번 대비).
6. 구간별 함수와 복합 조건은 마지막에 묶어 연습하세요. 경계에서 정의로 판단하고, 극한에서 얻은 정보를 도형의 넓이나 나눗셈 항등식으로 옮겨 보세요(4·16·17·21번 대비).