경기고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

경기고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

경기고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차는 함수의 극한과 연속에서 미분계수·도함수, 접선의 활용까지 이어지는 내용을 다룹니다. 단원별 분류에서 도함수의활용은 마지막 서술·단답형에 해당하지만, 접선의 기울기를 해석하는 내용은 미분계수와도함수 문항에서도 확인됩니다.

단순히 미분 공식을 적용하는 것보다 주어진 조건이 어떤 등식을 뜻하는지 읽는 일이 중요합니다. 그래프에서 좌우 극한을 구하거나 연속성을 확인한 뒤, 그 결과를 다항식의 형태나 접선 조건으로 옮겨야 합니다. 극한·연속·미분을 따로 외우기보다 연결 순서를 설명할 수 있어야 합니다.

객관식 후반의 어려움 문항 사이에도 보통 문항이 끼어 있습니다. 순서대로 풀다가 막힌 문항에 계속 머무르면 뒤의 해결 가능한 문항을 놓칠 수 있습니다. 서술·단답형도 차수 판단, 정의역 확인, 접점의 경우 구분이 필요하므로 계산과 근거를 함께 정리하는 연습이 적합합니다.

난이도 분포 — 어려움은 객관식에 배치

자동 분류 기준에서 쉬움이 없다는 사실이 모든 문항의 계산이 길다는 뜻은 아닙니다. 초반에는 그래프의 극한, 연속 조건, 접선의 의미처럼 익숙한 개념을 정확히 적용하는 문제가 이어집니다. 보통 문항에서도 함수값과 극한값을 혼동하면 풀이가 시작부터 어긋날 수 있습니다.

10번에서 미분가능성 판단이 등장하고, 14~16번에서는 역함수와의 교점, 극한의 대소 관계, 사잇값의정리가 이어집니다. 18·20번은 극한 조건을 이용해 다항식의 구조를 파악해야 합니다. 어려움 문항을 계산량만으로 구분하기보다 필요한 논리 단계가 무엇인지 점검하세요.

21~24번은 모두 보통으로 분류됐지만 풀이 방식은 서로 다릅니다. 최고차항 비교, 연속인 조각함수의 그래프, 미분 항등식, 공통접선으로 전환해야 하므로 마지막 구간에 답안 작성 시간을 남겨 두는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 미분계수와도함수가 중심

미분계수와도함수가 가장 많은 비중을 차지합니다. 접선 문제뿐 아니라 극한식을 미분계수의 정의로 읽는 문항, 함수의 항등식에서 도함수를 찾는 문항도 포함됩니다. 공식 계산을 익힌 뒤에는 분자의 함수 변화와 분모의 입력 변화가 같은 기준인지 확인하는 훈련이 필요합니다.

함수의연속에서는 절댓값을 씌우거나 함수를 곱한 뒤 연속성이 어떻게 달라지는지 확인해야 합니다. 원래 함수가 불연속이라는 이유만으로 새 함수도 불연속이라고 판단하면 안 됩니다. 함수의극한에서는 유리화와 차수 비교에서 출발해 대소 관계와 인수의 중복도까지 범위가 넓어집니다.

도함수의활용으로 분류된 24번은 공통접선을 도형의 넓이와 연결합니다. 분류상 문항 수가 적어도 접선의 방정식, 중근 조건, 좌표 기하를 함께 연습할 가치가 있습니다. 단원별 문제집을 풀 때도 같은 아이디어가 다른 단원 이름 아래에서 사용되는지 살펴보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들의 공통점은 조건을 적용한 뒤 후보가 원래 함수의 성질을 끝까지 만족하는지 확인해야 한다는 것입니다. 교점의 대칭, 구간의 경계, 약분에서 제외한 점을 그림이나 별도 메모로 남기세요. 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 것은 아니므로 특정 문항을 가장 어렵다고 단정하기보다 풀이에서 막힌 단계를 기준으로 복습하는 편이 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 그래프 읽기와 기본 계산 문항을 해결하고, 경우 구분의 기준이 바로 떠오르지 않는 문항에는 표시를 남기세요. 10번에서 막혔다고 뒤도 모두 어렵다고 판단할 필요는 없습니다. 접선이나 항등식처럼 자신 있는 유형을 먼저 마무리한 뒤 분석상 고난도 문항으로 돌아오는 순서가 가능합니다.

객관식 마지막 문항까지 해결한 다음 서술·단답형을 시작하겠다는 계획은 피하는 편이 좋습니다. 21~24번을 먼저 훑어 필요한 답안 분량을 파악하고, 알고 있는 조건식부터 적으세요. 실제 시험 시간 정보는 자료에 없으므로 연습에서는 각 문항의 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 구분해 기록하고 자신의 배분을 조정하세요.

검토할 때는 5번의 분모가 정의되는 구간, 8번의 절댓값을 취한 뒤 좌우 값, 13번의 서로 다른 접선 존재 여부를 확인하세요. 18번에서는 분자가 사라지는지만 보지 말고 충분히 약분되는지 살피고, 22번에서는 꼭짓점이 해당 구간 안에 있는지, 24번에서는 가능한 공통접선을 빠뜨리지 않았는지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 좌극한·우극한·함수값을 따로 읽고, 분모의 정의 여부까지 확인하세요. 극한의 존재와 연속 조건을 구분하는 출발점입니다(1·4·5번 대비).
2. 절댓값과 곱으로 만든 함수를 구간별 식으로 정리하세요. 원래 함수의 불연속이 새 함수에 그대로 이어지는지 직접 확인합니다(8·10번 대비).
3. 차분몫을 미분계수의 정의로 바꾸고, 입력 변화에 따른 배율을 추적하세요. 항등식에서 기준점의 함수값을 찾는 과정도 함께 연습합니다(6·12·19번 대비).
4. 접점을 문자로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 넓이·수직·공통접선 조건으로 연결하세요. 구한 후보가 도형 조건을 만족하는지 검토합니다(3·7·9·13·24번 대비).
5. 연속성으로 분자의 인수를 찾고, 극한의 존재에 필요한 인수의 중복도를 따져 보세요. 약분 전 제외된 점도 끝까지 관리합니다(2·11·18·20번 대비).
6. 교점과 실근 개수를 그래프로 정리하고 단조성·사잇값의정리의 적용 구간을 표시하세요. 마지막에는 최고차항과 계수 비교를 서술하는 연습으로 마무리합니다(14·15·16·21·22·23번 대비).