중산고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

중산고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한의 기본 성질에서 출발해 접선과 극값, 미분가능성까지 연결되는 시험입니다.

앞부분은 평균변화율, 극한의 대소 관계, 사잇값의 정리 등 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 조각함수의 연결 조건, 극한의 존재를 이용한 계수 결정, 접선과 곡선의 관계처럼 조건을 식으로 바꾸는 단계가 더해집니다.

후반은 그래프에서 교점이나 꺾이는 점을 찾은 뒤 새로 정의한 함수의 연속성을 판단하는 문제가 눈에 띕니다. 계산 연습과 함께 어떤 지점에서 경우가 바뀌는지 설명하는 훈련이 필요합니다. 서술·단답형이 뒤에 연속해서 모인 구성이 아니라는 점도 풀이 계획에 반영하세요.

난이도 분포 — 후반에서도 접근 가능한 문항을 찾기

쉬움 구간인 1~4번에서는 정의와 정리의 적용 조건을 정확히 확인하는 것이 우선입니다. 특히 3번의 실근 존재 판단은 연속성과 끝점의 부호를 근거로 삼아야 하고, 4번은 좌우에서 적용할 함수식을 구분해야 합니다. 짧은 문제에서도 근거를 생략하는 습관을 줄이세요.

보통 구간인 5~12번에는 부호 처리, 연속과 미분가능 조건의 구별, 인수분해가 반복됩니다. 같은 보통 분류인 17·19번은 후반에 있으므로 앞의 어려운 문제에 막혔을 때 먼저 확인할 만합니다. 서술·단답형이라는 이유만으로 풀이 부담이 더 크다고 판단하지 마세요.

13~16번에서 어려움 문항이 이어지고 이후에도 18·20·21·22번이 남습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 그래프를 해석한 뒤 조건을 다시 적용하는 풀이가 많아, 계산을 시작할 구조를 잡는 데 시간이 필요합니다.

출제 단원 — 극한과 미분을 연결하는 조건 해석

함수의극한은 2·4·5·9·16·19·20번입니다. 대소 관계나 무한대에서의 극한 같은 기본형에서, 좌표와 넓이를 극한식으로 바꾸는 16번과 공통접선의 조건을 이용하는 20번으로 확장됩니다. 극한식의 약분만 연습하지 말고 그 식이 만들어지는 과정을 함께 복습하세요.

미분계수와도함수는 1·8·12·14·17·18·22번입니다. 평균변화율과 미분계수의 정의뿐 아니라 조각함수의 미분가능성, 항등식에서 다항함수의 구조를 찾는 접근까지 포함합니다. 함수의연속에 속한 13·15번도 그래프를 읽고 경계에서의 함숫값을 따로 확인해야 합니다.

도함수의활용은 6·21번이지만 비중만 보고 가볍게 다루기는 어렵습니다. 6번은 극값 조건으로 함수를 정하고, 21번은 절댓값을 벗긴 뒤 증가와 감소를 판단합니다. 접선과 극값에서 사용하는 도함수의 의미는 다른 단원으로 분류된 문항의 풀이에도 이어집니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 얻는 단계와 얻은 식이 유효한 범위를 확인하는 단계가 나뉩니다. 도식이나 경우표를 먼저 만들고, 경계와 부호 조건을 마지막까지 남겨 두는 방식으로 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~12번의 기본 구조를 확인하고, 13~16번에서 그래프 분류가 길어지면 표시한 뒤 넘어가세요. 17·19번은 자동 분류 기준 보통이므로 후반의 다른 문항과 분리해 먼저 살펴볼 수 있습니다. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 계획보다 접근 여부를 판단하고 이동하는 연습이 적절합니다.

서술·단답형은 출발 근거를 짧게 적고 계산을 이어 가세요. 17번은 증가량을 맞추는 변형, 19번은 차수와 인수 조건, 20번은 공통접선의 기울기와 절편 조건을 먼저 정리합니다. 연습에서는 식을 세우는 시간과 계산하는 시간을 구분해 기록하면, 개념 해석과 계산 중 어느 쪽을 보완할지 찾을 수 있습니다.

검토할 때는 5번의 근호 부호, 8번의 연속 조건 누락, 11번의 분모 조건부터 확인하세요. 13·15·18번은 경계의 함숫값과 좌우에서 다가가는 값을 구분하고, 21번은 도함수가 존재하지 않는 연결점도 극값 후보로 살펴야 합니다. 20번의 양의 기울기 조건처럼 후보를 고르는 조건을 계산 뒤에 다시 읽는 습관도 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 극한의 기본 성질부터 정리하세요. 대소 관계를 활용하는 근거와 좌우에서 적용하는 함수식을 설명해 보세요(1·2·3·4번 대비).
2. 근호와 유리식의 극한은 부호 확인, 유리화, 인수분해 순으로 점검하세요. 약분한 뒤에도 극한이 존재할 조건을 다시 확인하세요(5·7·9·19번 대비).
3. 연속과 미분가능 조건을 나란히 정리하세요. 연결점의 함숫값, 좌우극한, 좌우 미분계수를 구분해 쓰고 유리함수의 정의역도 확인하세요(8·10·11번 대비).
4. 접선식과 도함수의 부호표를 연습하세요. 접점과 다른 교점을 구분하고 절댓값으로 나뉜 구간의 경계도 극값 후보에 넣으세요(6·12·20·21번 대비).
5. 교점 개수로 정의한 함수는 원래 그래프를 먼저 그리세요. 접할 때와 끝점을 지날 때를 기준으로 경우표를 만들고 경계의 실제 값을 대조하세요(13·15·18번 대비).
6. 항등식과 미분계수의 정의를 극한 조건에 연결하세요. 차수 판단과 증가량 보정을 먼저 쓰고, 좌표 조건은 넓이와 길이 관계로 번역해 보세요(14·16·17·22번 대비).