진선여자고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

진선여자고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

진선여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한을 독립적으로 계산하는 문제뿐 아니라 미분계수나 접선의 조건을 얻는 도구로 사용하는 문제까지 포함합니다.

초반에는 연속 조건, 그래프의 한쪽 극한, 평균변화율, 미분계수의 정의를 확인합니다. 중후반에는 같은 개념을 곱함수나 합성함수, 구간별 함수에 적용해야 합니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 그 공식을 적용할 수 있는 조건을 판별하는 능력이 중요합니다.

도형이 포함된 문제도 별개의 범위로 보기보다 함수 조건으로 번역해 접근하세요. 교점의 개수는 매개변수에 따른 함수로, 삼각형의 넓이는 점과 직선 사이의 거리로 옮길 수 있습니다. 도형 관계를 식으로 정리한 다음 극한이나 최댓값·최솟값을 다루는 흐름을 익혀야 합니다.

난이도 분포 — 중후반의 연속된 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~5번과 17·18번입니다. 기본형에서도 접근 방향이나 변화량의 부호를 놓치면 실수가 생깁니다. 특히 4번의 대칭적인 차분을 미분계수로 바꿀 때와 5번의 그래프에서 한쪽 극한을 읽을 때는 식의 모양을 정확히 확인하세요.

보통으로 분류된 6·7·19번은 각각 부등식과 접촉, 접선의 방정식, 음의 무한대에서의 극한을 다룹니다. 계산량보다 출발 개념을 선택하는 일이 중요합니다. 자동 분류 기준 어려움인 8~16번에서는 연속성의 회복이나 구간 분리처럼 별도의 조건 정리가 이어집니다.

20·21번도 자동 분류 기준 어려움입니다. 번호 순서대로 풀다가 중후반에 오래 머물면 17·18번의 기본형을 확인할 시간이 줄 수 있습니다. 전체 구성을 먼저 살핀 뒤 풀이 순서를 정하고, 자동 분류 결과와 본인의 체감 난도는 구별해 활용하세요.

출제 단원 — 미분계수와도함수를 중심으로 이어지는 극한·연속

가장 많은 미분계수와도함수에서는 공식 계산과 정의의 활용이 함께 나옵니다. 3·4·17번으로 기본 계산을 점검한 뒤 6·9번에서 함수의 차와 접촉 관계를 다루세요. 12·16번은 원래 함수가 매끄럽지 않아도 변형한 함수나 곱함수는 미분가능할 수 있다는 점을 확인해야 합니다.

함수의극한은 그래프 해석과 식의 구조 판단으로 나뉩니다. 10번은 합성되는 안쪽 함숫값의 접근 방향을, 11번은 유한한 극한이 존재하기 위한 조건과 무한대에서의 차수 관계를 묻습니다. 21번은 도형에서 얻은 관계를 정리해야 극한 계산을 시작할 수 있습니다.

함수의연속에서는 연결점의 값을 맞추는 기본형 외에 불연속이 곱에서 사라지는 조건과 교점 개수 함수가 등장합니다. 도함수의활용으로 분류된 14·20번은 대칭성이나 넓이를 함수로 옮긴 뒤 증감과 범위를 살핍니다. 단원 이름만 분리해 공부하기보다 같은 조건이 다른 표현으로 나오는 과정을 연결하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 바로 계산할 식이 주어지기보다 먼저 대상을 함수나 관계식으로 바꾸어야 합니다. 경계와 예외를 적은 뒤 계산하면 풀이의 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 8~16번에서 식 정리가 길어지면 표시하고 서술·단답형의 17·18번도 확인하는 편이 좋습니다. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 배분보다, 연습에서 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 구별해 기록하세요.

구간별 함수에서는 경계에서 어떤 식이 적용되는지를 먼저 표시하세요. 8번은 불연속 후보 지점이 겹치는 경우를 따로 살피고, 10번은 안쪽 입력이 어느 방향에서 경계에 접근하는지 추적해야 합니다. 12·16번에서는 원래 함수의 성질을 곱이나 제곱으로 변형한 함수에 그대로 옮기지 말고 정의로 확인하세요.

마지막 검토는 부호와 구간 조건을 중심으로 하세요. 19번은 제곱근에서 변수를 밖으로 꺼낼 때 절댓값이 필요하며, 20번은 넓이에 포함된 절댓값과 닫힌구간의 끝점을 함께 확인해야 합니다. 21번에서는 접점의 위치 조건에 맞는 길이를 사용했는지, 넓이의 비를 취하기 전에 관계식이 일관되는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한과 연속의 기본 조건부터 정리하세요. 그래프에서 한쪽 극한과 함숫값을 구별하고, 약분 전후의 정의 범위를 표시하세요(1·2·5·18번 대비).
2. 평균변화율과 미분계수의 정의를 비교하세요. 변화량의 방향과 분모의 부호를 기록한 뒤 다항함수의 미분 공식으로 검산하세요(3·4·17번 대비).
3. 부등식의 등호 지점과 접선 조건을 함수의 차로 표현하세요. 극한의 존재 조건을 함수값과 도함수값의 관계로 바꾸는 연습을 이어 가세요(6·7·9·11번 대비).
4. 구간별 함수와 합성함수는 입력의 위치를 먼저 분류하세요. 곱·제곱·절댓값으로 바꾼 뒤 연속성과 좌우 미분계수를 다시 검사하세요(8·10·12·16번 대비).
5. 정리의 가정과 증감 판단을 따로 적으세요. 롤의 정리와 평균값 정리의 적용 구간, 대칭성과 극값의 관계를 확인하세요(13·14번 대비).
6. 도형을 함수로 번역한 뒤 경계를 점검하세요. 교점의 개수, 점과 직선 사이의 거리, 접선과 반지름의 관계를 식으로 옮기고 마지막에 극한의 부호를 확인하세요(15·19·20·21번 대비).