배재고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

배재고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

배재고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용(1)입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 연속 조건을 이용한 함수 결정, 접선과 평균값 정리의 활용까지 이어집니다.

초반에는 접점에서의 기울기, 구간별 함수의 미분가능성, 평균변화율처럼 개념을 직접 적용하는 문항이 나옵니다. 다만 같은 미분이라도 항등식에서 도함수를 만드는 문제와 접선의 방정식을 세우는 문제는 출발점이 다릅니다. 계산에 앞서 주어진 정보가 함숫값인지 기울기인지 구별하는 습관이 필요합니다.

중후반에는 연속성을 개별 함수에만 적용하지 않고 이동한 함수의 곱이나 구간의 최댓값으로 새로 정의한 함수에 적용합니다. 계산을 끝낸 뒤에도 구간, 부호, 근의 중복을 다시 확인해야 합니다. 서술·단답형이 객관식 사이에 있으므로 번호만 보고 풀이 형식을 짐작하지 마세요.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 결합

1번은 그래프의 한쪽 극한을 읽는 기본 문항입니다. 2~8번은 보통으로 분류되어 있지만 연속성과 미분가능성의 구별, 미분계수 정의의 변형, 열린구간 조건을 각각 확인해야 합니다. 공식을 안다는 이유로 조건을 생략하면 이 구간에서도 불필요한 재계산이 생길 수 있습니다.

9·10번에서 어려움 문항이 나온 뒤 11번은 보통으로 돌아옵니다. 12~18번은 어려움이 이어지며 함수 결정, 경우 분류, 그래프 해석이 겹칩니다. 앞 문항에서 막혔다고 뒤의 접근 가능한 문항까지 미루지 않도록 전체를 훑는 운영이 필요합니다.

19번은 보통인 서술·단답형이며 20~23번은 어려움입니다. 이 난이도는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 특히 21번은 접선과 거리 관계를 먼저 정리해야 극한 계산으로 넘어갈 수 있어 풀이 준비 단계의 비중이 큽니다.

출제 단원 — 비슷한 비중 속에서 연결되는 극한과 미분

함수의연속은 기본적인 분모 조건을 확인하는 5번에서 이동·대칭한 함수의 연산을 다루는 10·14번으로 확장됩니다. 18번은 부호 변화, 22번은 움직이는 구간의 최댓값, 23번은 이동한 함수의 곱과 근의 성질이 연결됩니다. 연속의 정의를 외우는 데서 그치지 않고 새 함수의 불연속 후보점을 찾는 연습이 필요합니다.

미분계수와도함수에서는 4·7·13·19번처럼 극한식을 미분계수로 읽는 능력이 반복됩니다. 도함수의활용(1)은 접선의 방정식과 평균값 정리를 함께 다룹니다. 12번의 접촉 조건, 17번의 정리 적용 조건, 20번의 도형 관계처럼 미분 결과를 다른 조건으로 옮기는 단계가 중요합니다.

함수의극한으로 분류된 문항도 미분과 분리되지 않습니다. 9번은 극한 조건에서 다항식의 근과 미분계수를 읽고, 21번은 접선으로 점의 위치를 정한 뒤 거리의 극한을 구합니다. 단원별 학습 후에는 같은 조건을 극한·연속·미분의 언어로 바꾸어 설명해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표의 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정과 경우 분류의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 대상을 먼저 정확히 구성해야 한다는 것입니다. 근의 집합, 점의 좌표, 최댓값 후보를 정리한 뒤 계산에 들어가는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접근법이 바로 보이는 기본형부터 확보하세요. 9·10번에서 막히면 표시하고 11번을 확인하며, 중후반에서도 19번의 곱의 미분을 먼저 살펴볼 수 있습니다. 모든 어려움 문항을 번호순으로 끝내겠다는 방식보다 풀이의 출발점이 보이는 문항을 골라 진행하는 연습을 권합니다.

서술·단답형은 19번과 21번의 부담이 다릅니다. 19번은 함숫값과 미분계수를 정리한 표가, 21번은 접선 조건과 점의 위치를 표시한 그림이 출발점입니다. 연습에서는 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 나누어 기록하고, 식을 구성하지 못한 채 같은 계산만 반복하면 다른 문항으로 이동하세요.

마지막 검토에서는 조건의 경계를 보세요. 8번은 열린구간, 11번은 나누는 수의 부호, 14번은 불연속 후보점의 일치 여부가 중요합니다. 16번은 근의 중복, 21번은 근호 안 제곱의 처리, 22번은 구간 끝점과 최댓값 후보를 확인하면 조건 누락을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프의 한쪽 극한과 연속의 정의부터 복습하세요. 함숫값, 좌극한, 우극한을 별도로 적는 연습을 하세요(1·2·5번 대비).
2. 평균변화율과 미분계수의 정의를 연결하세요. 인수분해하거나 항등식을 대입해 차분몫을 만드는 유형을 묶어 풀어 보세요(4·7·9·13·19번 대비).
3. 접선 문제는 접점과 기울기를 먼저 표시하세요. 접촉을 중근으로 읽는 유형과 도형의 수직 관계로 확장하는 유형을 연습하세요(3·6·12·20·21번 대비).
4. 이동한 함수의 연속성을 연습하세요. 불연속 후보점을 이동시킨 뒤 곱과 합에서 극한과 함숫값을 비교하세요(10·14·23번 대비).
5. 조건에 따른 경우 분류를 강화하세요. 유리화 뒤의 영점, 이동한 근의 중복, 부호 변화의 방향을 구별해 정리하세요(15·16·18번 대비).
6. 평균값 정리와 구간에 따른 함수의 값을 점검하세요. 정리의 가정을 확인하고 움직이는 구간에서 후보가 바뀌는 경계를 그려 보세요(8·17·22번 대비).