동북고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

동북고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

동북고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 미분과 적분의 계산뿐 아니라 두 개념을 연결해 함수의 성질을 판단하는 문항을 준비해야 합니다.

시험의 중심에는 그래프 해석이 있습니다. 도함수 그래프에서 증가·감소를 읽는 문항에 이어, 접선의 개수를 실근 개수로 바꾸거나 절댓값 함수의 미분가능성으로 다항함수의 형태를 좁히는 문항이 나옵니다. 도함수의 영점을 구한 뒤 원함수에서 무슨 일이 일어나는지 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형에서는 모든 실수에 대한 부등식, 매개변수에 따라 달라지는 최댓값, 교점이 없는 조건, 넓이 정보로 복원한 함수의 실근 개수를 다룹니다. 계산식에 앞서 범위와 경계 조건을 정리하면 풀이 방향이 선명해집니다.

난이도 분포 — 초반 기본 확인 뒤 이어지는 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 1~4번은 정적분 계산, 극댓값, 운동 방향 변화, 접선 기울기에서 원함수 복원처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 초반부터 속도와 위치, 극점의 위치와 극값을 구별해 정확하게 마무리하는 것이 중요합니다.

6번에서는 극값이 없다는 조건을 매개변수의 영역으로 옮겨야 하고, 9·10번에서는 원함수의 모양과 접선 개수를 판단합니다. 초반 번호라는 이유로 쉬운 계산을 기대하기보다, 조건을 변환하는 단계가 있는지 먼저 살피세요.

13~19번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지는 구간입니다. 항등식, 미분가능성, 실근 개수, 극한, 넓이와 최댓값 함수 등 접근 방식이 바뀝니다. 같은 계산을 오래 반복하기보다 각 문항에서 먼저 만들어야 할 식이나 그래프를 짧게 적는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심, 적분과의 연결도 확인

도함수의활용은 극대·극소와 최댓값의 기본 판단부터 접선 개수, 부등식의 성립 조건, 제한된 구간에서의 실근 개수까지 이어집니다. 이 단원을 공부할 때 도함수의 부호표를 만드는 데서 끝내지 말고, 끝점과 극값을 표시한 원함수 개형까지 그려 보세요.

정적분에서는 계산 자체보다 적분으로 정의된 함수의 기울기, 최댓값으로 정의된 함수의 적분이 눈에 띕니다. 정적분의활용도 속도를 적분해 위치를 비교하는 문항과 두 곡선 사이 넓이를 다루는 문항으로 나뉩니다. 적분 기호를 보기 전에 무엇을 누적하고 있는지 확인해야 합니다.

미분계수와도함수의 13·14번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 접선의 절편 조건을 항등식으로 표현하거나 절댓값의 미분가능성을 근의 중복도와 연결해야 합니다. 기본 정의를 새로운 조건에 적용하는 연습을 따로 해 두는 편이 좋습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강동구의 같은 범위 시험에서 볼 점

2024학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 강동구 이웃 학교의 평균은 총 23.0문항, 서술·단답형 3.8문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 60%입니다. 동북고는 총 21문항, 서술·단답형 4문항, 어려움 비율 52%로, 문항 수는 평균보다 적고 서술·단답형 구성은 비슷합니다. 어려움 비율은 5개교 중 3위입니다.

가장 많은 단원은 동북고·배재고·둔촌고·한영고가 도함수의활용이고, 한영외국어고는 정적분입니다. 이는 가장 많은 단원의 차이이며 세부 출제 구성이 같다는 뜻은 아닙니다. 동북고 학생은 자신의 시험에서 확인되는 접선 개수, 전역 부등식, 도함수 넓이에서 원함수 복원 유형을 우선 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 해석한 뒤 새로운 함수의 형태나 그래프를 만들어야 한다는 공통점이 있습니다. 계산에 들어가기 전에 미분가능성을 확인할 지점, 최댓값을 비교할 후보, 교점 수가 달라지는 높이를 먼저 표시하세요. 어려움은 자동 분류 기준이며, 위 문항은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

1~4번 기본 문항을 정확하게 마무리하고, 이후에는 바로 식을 세울 수 있는 문항부터 진행하세요. 6번처럼 초반에도 조건 해석이 필요한 문항이 있으므로 번호에 따라 같은 시간을 배정할 필요는 없습니다. 접근이 막히면 필요한 조건만 메모하고 돌아오는 방식으로 운영하세요.

13~19번을 순서대로 끝내려다 서술·단답형 전체를 놓치지 않도록 주의하세요. 20번은 자동 분류 기준 보통이며, 함수의 차의 최솟값을 찾는 흐름이 분명합니다. 서술·단답형을 미리 훑어 쓸 수 있는 풀이부터 적고, 19·21번의 경우 구분과 검산에 쓸 시간을 남기세요.

마지막 검토에서는 6번의 차수 변화, 10·15번의 접하는 경계, 12번의 허용 시각, 20번의 엄격한 부등호를 확인하세요. 18번은 등호가 허용되는 전역 부등식이고 20번은 만나는 경우를 배제한다는 차이가 있습니다. 21번에서는 끝점이 포함되는 구간인지도 교점 수에 직접 영향을 줍니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미적분을 정리하세요. 정적분 대입, 위치와 속도, 적분상수 결정을 정확히 수행합니다(1·3·4·11번 대비).
2. 도함수 그래프에서 원함수 개형을 그리세요. 증가·감소, 극값, 끝점 높이와 축의 교점을 한 그림에 표시합니다(2·5·8·9번 대비).
3. 조건을 식으로 번역하세요. 극한은 함수값과 미분계수로, 접선 절편은 항등식으로 옮긴 뒤 구조를 정리합니다(13·16번 대비).
4. 극값과 실근 개수를 연결하세요. 접점에 관한 새 함수와 수평선의 교점을 그리고 접하는 경계를 따로 확인합니다(10·15번 대비).
5. 전역 조건과 예외를 연습하세요. 차수가 내려가는 경우, 절댓값 실근에서의 미분가능성, 최솟값의 부등호를 점검합니다(6·14·18·20번 대비).
6. 적분과 그래프를 연결하세요. 속도에서 위치 복원, 부호를 고려한 넓이, 매개변수별 최댓값 함수를 차례로 다룹니다(7·12·17·19·21번 대비).