경일고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

경일고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

경일고등학교는 서울 성동구에 있습니다. 이 시험은 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 정적분의 활용을 다룹니다. 함수의 증가와 감소, 극값과 실근 개수를 읽는 문제에서 적분으로 함수와 넓이, 운동을 해석하는 문제까지 이어집니다.

초반에는 위치를 미분해 속도를 구하거나 부정적분의 정의를 적용하는 기본형이 나옵니다. 중반부터는 도함수의 부호를 이용해 함수 전체의 성질을 판단하고, 적분을 포함한 등식을 미분해 함수를 복원해야 합니다. 계산법을 아는 것과 어떤 계산을 먼저 할지 정하는 능력이 함께 필요합니다.

후반에는 절댓값 그래프, 구간별 최댓값, 운동 방향 전환처럼 조건을 그림이나 부호 변화로 바꾸어야 하는 문항이 이어집니다. 서술·단답형도 모두 같은 수준은 아닙니다. 기본 적분을 확인하는 20번과 조건의 연결 과정을 써야 하는 22·23번을 구별해 준비하세요.

난이도 분포 — 중반 이후에 집중된 조건 해석

쉬움 문항은 1~4번과 11·20번입니다. 기초 연산과 정의를 정확히 적용하면 접근할 수 있지만, 11번은 절댓값 안의 부호를 구간별로 나누어야 합니다. 쉬운 문제에서도 적분 구간과 부호를 확인하는 습관이 필요합니다.

보통 문항은 5~10번과 13번입니다. 극댓값과 극솟값, 서로 다른 실근, 닫힌구간의 최댓값·최솟값, 모든 실수에서 성립하는 부등식이 중심입니다. 도함수가 사라지는 지점을 찾은 뒤 부호 변화와 끝점까지 확인해야 풀이가 완성됩니다.

자동 분류 기준 어려움은 12번과 14~19번, 21~23번입니다. 정적분 등식의 변형이나 여러 그래프 조건을 연결하는 과정이 길어지는 구간입니다. 이는 자동 분류 기준에 따른 구분이므로 실제 응시자의 체감 난도를 단정하지 않고, 준비할 사고 과정의 차이를 읽는 데 활용하세요.

출제 단원 — 도함수 활용을 바탕으로 연결되는 적분

도함수의활용은 가장 큰 비중을 차지합니다. 5~10번에서 극값과 증가 조건을 다지고, 18·19·21번에서 도함수의 대칭성, 절댓값 그래프, 구간별 최댓값으로 확장됩니다. 도함수의 근만 구하는 연습보다 부호표를 원함수의 개형으로 옮기는 연습을 우선하세요.

정적분의활용은 넓이와 운동으로 나뉩니다. 4·13·16·23번은 경계와 위아래 관계를 확인하는 넓이 문제이고, 15·22번은 속도를 적분해 위치나 거리를 해석하는 문제입니다. 특히 같은 적분이라도 위치 변화와 이동거리에 필요한 부호 처리가 다르다는 점을 구별해야 합니다.

정적분에서는 대칭성과 절댓값을 이용하는 기본형에서 적분 등식의 미분, 적분으로 정의된 함수의 극값으로 확장됩니다. 부정적분은 비중이 작지만 2·20번의 정의와 적분상수 결정이 함수 복원의 출발점입니다. 단원별 공식을 복습한 뒤 미분과 적분을 왕복하는 문제로 연결하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 후반 해석 부담

같은 해 같은 학년·학기·시험·과목을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 경일고는 총 23문항으로 지역 평균 21.2문항보다 많고 서술·단답형은 3문항으로 평균 3.9문항보다 적습니다. 서술형 개수만 보고 부담을 판단하기보다 객관식 후반의 해석 과정까지 함께 살펴야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 경일고가 43%로 지역 평균 31%보다 높으며, 11개교 중 2위입니다. 도함수의활용이 가장 많은 학교가 여럿인 반면 덕수고등학교와 방산고등학교는 정적분이 중심입니다. 경일고 대비에서는 도함수의 부호표와 그래프 해석을 먼저 다지고 적분 등식과 운동 문제로 확장하는 순서가 유용합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건의 연결 과정을 살펴 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 함수 형태를 정하는 단계와 그 함수가 원래 조건을 만족하는지 확인하는 단계가 나뉩니다. 후보를 구한 뒤 그래프와 부호로 검토하는 과정을 생략하지 마세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 부호표로 접근 가능한 문제부터 확보하세요. 12번의 적분 등식에서 막히면 13번을 확인하고, 후반에 도착해도 20번의 기본 적분을 놓치지 마세요. 21번에서 개형 추론이 길어지면 표시한 뒤 22·23번의 서술 출발 조건부터 적어 보는 방식으로 연습하세요.

서술형에서는 계산 전 근거를 짧게 쓰는 습관이 중요합니다. 22번은 속도가 사라지는 것과 실제 부호가 바뀌는 것을 구별하고, 가속도를 구하는 미분과 이동거리를 구하는 적분을 분리하세요. 23번은 극한에서 얻은 조건, 극값 조건, 넓이 구간이 어떻게 이어지는지 순서대로 적어 두세요.

마지막 검토는 부호와 경계를 중심으로 하세요. 7·18·19번은 서로 다른 실근을 세는지, 접점을 중복으로 세지 않았는지 확인합니다. 8·10번은 구간 끝점, 9번은 엄격한 부등호, 15번은 양의 시간 조건, 16·22번은 부호 있는 적분과 넓이·거리의 차이를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분·부정적분의 정의와 적분상수 결정을 복습하세요. 위치·속도·가속도의 관계도 함께 정리하세요(1·2·20번 대비).
2. 도함수의 부호표에서 증가·감소와 극값을 읽고 끝점과 비교하세요. 도함수의 영점이 항상 극점은 아니라는 예를 확인하세요(5·6·8·10번 대비).
3. 실근 개수를 곡선과 직선의 교점으로 바꾸세요. 절댓값 그래프를 그린 뒤 접하는 높이를 별도로 점검하세요(7·18·19번 대비).
4. 대칭성과 절댓값을 이용한 적분에서 넓이로 확장하세요. 구간을 정하고 함수의 차의 부호를 표시하는 과정을 먼저 쓰세요(3·4·11·13·16번 대비).
5. 적분 등식을 미분해 함수를 복원하고 극값 조건과 연결하세요. 적분 변수와 바깥 변수를 구별해 정리하세요(12·14·17번 대비).
6. 운동은 위치의 차와 이동거리를 구별하고, 함수 조건은 구간별 그림으로 정리하세요. 마지막에는 근거를 문장으로 쓰며 복합형을 풀어 보세요(15·21·22·23번 대비).