잠실여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

잠실여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

잠실여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 단원은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 도함수로 그래프를 해석하는 내용과 적분으로 넓이·운동을 다루는 내용이 중심입니다.

정적분의 값을 직접 계산하는 기본형에서 출발하지만, 중반부터는 적분할 함수나 구간을 먼저 정해야 합니다. 두 함수의 대소 관계, 속도의 부호, 절댓값이 바뀌는 위치를 확인하지 않으면 계산식 자체가 달라집니다. 풀이의 첫 단계에서 간단한 그래프나 부호표를 만드는 연습이 도움이 됩니다.

서술·단답형은 16~18번 사이에 놓이고 그 뒤에 객관식이 다시 이어집니다. 형식만 보고 뒤쪽을 모두 서술형으로 생각해서는 안 됩니다. 자동 분류 기준으로 16·17번은 보통이므로, 중반의 긴 조건 해석에 시간을 모두 쓰지 않고 풀이 가능한 문항을 확보하는 전략을 권합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움인 1번은 정적분의 기본 계산입니다. 보통인 2·3·4번은 각각 그래프를 통한 실근 개수, 적분값의 상수 처리, 넓이의 분할을 다룹니다. 기본형에서도 계산에 들어가기 전에 무엇을 상수로 볼지, 어느 부분의 넓이를 구할지 정리해야 합니다.

5~15번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 접선, 운동, 부정적분의 항등식, 절댓값 함수의 미분가능성 등 접근법이 계속 바뀝니다. 같은 적분 단원으로 묶이더라도 부호표가 필요한 문제와 계수 비교가 필요한 문제를 구별하는 능력이 중요합니다.

16·17번에서 보통으로 돌아온 뒤 18~21번은 다시 어려움입니다. 어려움 비중은 71.4%이지만 이는 자동 분류 결과이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 복습에서는 맞고 틀린 결과와 함께 조건 해석에 막힌 지점을 따로 기록하세요.

출제 단원 — 넓이·운동과 그래프의 연결

정적분의활용은 4·5·7·8·9·13·17·19번에 분포합니다. 넓이에서는 위아래 함수와 분할 지점을, 운동에서는 초기 위치와 속도의 부호를 먼저 정해야 합니다. 특히 두 점 사이의 거리와 한 점이 움직인 거리는 서로 다른 양이므로 계산 전에 구하려는 대상을 말로 구분하세요.

도함수의활용은 2·6·11·15·16·18·21번입니다. 실근의 개수와 접선에서 시작해 구간 전체의 부등식, 극솟값, 합성함수의 최솟값까지 이어집니다. 도함수가 사라지는 지점을 찾는 것만으로 끝내지 말고 정의역과 끝점, 부호 변화까지 검토해야 합니다.

정적분의 14·20번은 적분으로 정의된 함수와 미분을 연결합니다. 부정적분의 10번은 적분상수와 항등식의 계수 비교가 중요하고, 미분계수와도함수의 12번은 절댓값과 구간별 정의를 결합합니다. 문항 수가 적은 단원도 조건 해석이 길어질 수 있어 기본 개념을 생략해서는 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 단원 중심은 비슷하고 어려움은 확대

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 작년 11문항에서 올해 15문항으로 늘었습니다. 작년에는 8번에서 어려움이 처음 등장했지만 올해는 5번부터 이어져, 초반 이후 조건 해석에 들이는 부담이 커진 구성입니다.

도함수의활용은 작년과 올해 모두 7문항입니다. 정적분의활용은 작년 7문항에서 올해 8문항으로 늘고, 정적분은 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 올해에는 미분계수와도함수가 포함되므로 활용 단원만 반복하기보다 미분가능성과 적분의 기본 관계도 함께 점검하세요.

서술·단답형의 번호는 두 해 모두 16~18번이고, 어려움은 두 해 모두 이 구간에서 18번입니다. 다만 16번은 작년 쉬움에서 올해 보통으로 분류되었습니다. 다음 시험 준비에서는 기본 계산의 안정성을 확보한 뒤 운동의 부호 분류와 적분함수의 극값 조건을 연결하는 훈련으로 확장하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산으로 얻은 후보를 다시 조건에 대조해야 한다는 것입니다. 연속성, 부호 변화, 치역이라는 판정 기준을 먼저 적으면 검토해야 할 대상을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본 구조를 확인하고, 중반에서 접근이 늦어지면 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보세요. 5~15번이 연속해서 자동 분류 기준 어려움이므로 순서대로 끝내려 하면 뒤의 16·17번을 볼 시간이 줄 수 있습니다. 연습에서는 첫 식을 세우는 시간과 계산 시간을 구분해 기록하세요.

운동 문항은 구하려는 양을 먼저 적으세요. 9번은 두 점 사이 거리의 조건으로 시각을 찾은 뒤 한 점의 이동 거리를 계산하며, 17번은 속도가 아닌 위치가 같은 시각을 찾습니다. 13·19번의 방향 변화는 속도의 영점 개수가 아니라 허용된 시간 범위에서 부호가 바뀌는 횟수로 판단해야 합니다.

검토 시간에는 경계와 제외 조건을 우선 확인하세요. 12번은 경계의 연속성과 미분가능성, 14·15번은 변형한 방정식의 근이 놓일 범위, 16번은 등호 허용 여부가 중요합니다. 20번은 영점에서 실제 부호가 바뀌는지, 21번은 극소점이 치역 안에 있는지 돌아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산과 적분값의 상수 처리를 먼저 안정시키세요. 고정된 구간의 적분과 변수가 끝점에 있는 적분을 구별하세요(1·3번 대비).
2. 도함수의 부호표로 증감과 극값을 설명하세요. 구간 전체의 부등식에서는 끝점과 엄격한 부등호까지 확인하세요(2·16·18번 대비).
3. 곡선의 교점과 위아래 관계를 스케치하고 넓이의 합·차를 적분식으로 옮기세요. 함수의 식이 바뀌는 경계도 표시하세요(4·5·7번 대비).
4. 속도에서 위치를 구하는 연습과 속도의 절댓값을 적분하는 연습을 구분하세요. 이후 근의 중복도와 방향 변화 조건을 결합하세요(8·9·13·17·19번 대비).
5. 접점의 좌표로 접선을 세우고 기울기의 부호나 수직 조건으로 후보를 거르세요. 절댓값 방정식은 우변의 부호부터 제한하세요(6·11·15번 대비).
6. 부정적분의 상수를 보존하고 적분으로 정의된 함수를 미분해 보세요. 경계의 연속성과 영점에서의 부호 변화를 따로 검사하세요(10·12·14·20번 대비).
7. 합성함수는 안쪽 함수의 치역을 입력 범위로 옮겨 최솟값을 비교하세요. 끝점과 극소점이 경쟁하는 상황을 그림으로 정리하세요(21번 대비).