배재고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

배재고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

배재고등학교는 서울 강동구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 단원은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분을 통한 증감과 극값 판단부터 정적분의 성질, 넓이, 적분으로 정의된 함수까지 연결됩니다.

초반에는 정적분의 선형성과 곡선의 대칭을 활용하는 문제가 나오지만, 이후에는 계산 전에 그래프나 조건을 정리해야 하는 문항이 이어집니다. 위치와 속도, 극값과 최댓값, 정적분과 넓이를 구별하는 일이 풀이의 출발점입니다. 공식을 적용할 수 있는 형태를 스스로 만드는 연습이 중요합니다.

객관식과 서술·단답형의 배치도 확인해야 합니다. 20번은 객관식이고 21번은 서술·단답형이므로 뒤쪽을 같은 형식으로 묶어 생각하면 안 됩니다. 자동 분류 기준 어려움 안에서도 기본적인 증감 판단과 여러 조건을 연결하는 문항의 부담이 다르므로, 번호만으로 풀이 순서를 고정하지 마세요.

난이도 분포 — 초반 이후 이어지는 조건 해석

1번은 같은 구간의 정적분을 결합하는 기본 성질, 2번은 곡선과 가로축 사이의 넓이를 다룹니다. 적분 계산을 시작하기 전에 식의 결합이나 대칭성을 확인하면 불필요한 연산을 줄일 수 있습니다. 넓이에서는 적분값의 부호를 그대로 결과로 사용하지 않는 습관도 필요합니다.

3번부터는 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 다만 3번의 닫힌구간 최댓값·최솟값이나 5번의 부피 최적화와, 19·20번의 구간별 그래프 및 교점 개수 해석은 필요한 판단 단계가 다릅니다. 분류만 보고 모든 문항에 같은 시간을 배정하기보다 풀이 구조가 보이는 문제를 먼저 처리하세요.

서술·단답형도 모두 어려움으로 분류됩니다. 미분한 관계식에 경계 조건을 적용하는 과정, 연속성을 이용해 함수를 연결하는 과정 등을 근거와 함께 정리해야 합니다. 비중은 반올림한 값이며, 자동 분류 결과만으로 실제 응시자의 체감 난도를 확정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분의 연결

도함수의활용은 최댓값·최솟값에 머물지 않습니다. 4·9번은 운동 방향, 6번은 양의 실근 개수, 12번은 구간별 함수의 미분가능성, 14·20번은 개수를 나타내는 함수의 변화를 다룹니다. 도함수의 영점만 찾기보다 그 점을 기준으로 무엇이 달라지는지 설명할 수 있어야 합니다.

정적분에서는 구간별 적분값 사이의 관계를 찾는 10번, 부호 선택을 제한하는 11번, 적분으로 정의된 함수의 극값을 해석하는 15번이 눈에 띕니다. 16·18번에서는 적분식을 미분한 뒤에도 경계나 연속성 조건으로 돌아와야 하며, 21번은 대칭 구간의 홀짝 성질을 계수 조건과 연결합니다.

정적분의활용은 넓이를 직접 계산하는 유형에서 역함수의 대칭, 함수의 이동 관계, 누적 적분의 실근 개수로 확장됩니다. 13번의 구간별 미분가능성도 연결 조건과 근의 중복을 함께 다루므로, 단원 이름이 다르더라도 부호표와 경계 검토를 공통 학습 도구로 삼으세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 결과보다 그래프의 변화 지점과 경계의 포함 여부가 중요합니다. 구간별 표에 부호, 교점 개수, 경계에서의 값을 나누어 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번을 정리한 뒤 증감표나 적분식의 변형이 바로 보이는 문항부터 처리하세요. 3번 이후의 분류가 같아도 필요한 단계는 다릅니다. 14·19·20번처럼 경우 분류가 길어지는 문제는 판단 기준을 메모하고 넘어간 뒤 다시 접근하면 같은 내용을 반복해서 읽는 시간을 줄일 수 있습니다.

서술·단답형에는 계산할 시간을 따로 남겨 두세요. 16번은 미분할 때 사라지는 항과 경계 대입, 18번은 연속성에 의한 연결, 21번은 임의의 일차식이라는 조건을 관계식으로 옮기는 것이 출발점입니다. 연습에서는 첫 관계식을 세우는 데 걸린 시간과 이후 계산 시간을 나누어 기록해 보세요.

검토할 때는 4번의 열린구간, 6번의 양의 실근, 9번의 속도 부호를 우선 확인하세요. 12·13번에서는 연속과 미분가능을 구별하고, 15번에서는 도함수의 영점과 극값을 구별해야 합니다. 19번은 적분 방향에 따른 부호, 20번은 경계에서 적용되는 식을 다시 확인하는 것이 유용합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 선형성과 대칭 구간의 홀짝 성질을 복습하세요. 계산 전에 결합하거나 소거할 항부터 찾으세요(1·2·21번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극값과 구간 최댓값·최솟값을 구별하세요. 제약 조건과 정의역을 먼저 적는 습관을 들이세요(3·5·9번 대비).
3. 위치·속도 그래프와 수평선의 교점을 연습하세요. 영점의 의미와 부호 변화, 양수 범위의 제한을 구별하세요(4·6·17번 대비).
4. 역함수의 대칭과 함수의 이동 관계를 넓이로 연결하세요. 정적분값을 얻은 뒤 넓이로 바꾸는 부호 검사를 추가하세요(7·8·11번 대비).
5. 구간 적분값의 관계식과 적분으로 정의된 함수의 미분을 연습하세요. 미분 후에도 초기 조건과 경계 조건을 확인하세요(10·15·16·18번 대비).
6. 구간별 함수의 연결과 개수 함수의 변화를 표로 정리하세요. 좌우 미분계수, 근의 중복, 경계에서의 포함 여부를 따로 표시하세요(12·13·14·19·20번 대비).