정신여자고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

정신여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

정신여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 도함수의활용, 정적분, 부정적분, 정적분의활용, 미분계수와도함수입니다. 접선과 극값의 기본 개념에서 적분으로 정의된 함수의 성질까지 다룹니다.

앞부분에는 평균값정리, 접선의 기울기, 극댓값, 부정적분의 정의를 직접 적용하는 문항이 있습니다. 이후에는 도함수의 그래프에서 원함수의 성질을 읽고, 적분식을 미분하거나 절댓값을 구간별로 풀어 조건을 연결해야 합니다. 미분과 적분을 따로 암기하기보다 서로 오가며 해석하는 연습이 필요합니다.

문항 형식은 번호에 따라 섞여 있습니다. 15~17번의 서술·단답형을 지난 뒤 18·19번에서 객관식으로 돌아오므로 마지막 구간을 모두 서술형이라고 생각하지 마세요. 자동 분류 기준 어려움 문항도 후반 전체에 연속되는 것은 아니어서, 형식과 접근 가능성을 함께 확인하는 운영이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본 계산에서 그래프 조건 해석으로

쉬움 문항은 초반의 1~4번과 8·15번입니다. 공식 적용이 비교적 직접적이지만, 평균변화율과 미분계수의 구별, 극값이 생기는 위치와 함숫값의 구별은 필요합니다. 8번에서는 출발 시각과 다시 원점에 도착한 시각을 구별해야 하고, 15번에서는 접점 좌표까지 구해야 접선식을 완성할 수 있습니다.

보통 구간은 계산 전에 조건을 정리하는 단계가 추가됩니다. 9번은 구간별 적분상수를 연속성으로 연결하고, 11번은 적분식의 대입 조건과 미분한 식을 함께 사용합니다. 20번은 부등식이 항상 성립한다는 말을 함수의 최댓값 조건으로 바꾸는 것이 출발점입니다.

어려움 구간에서는 교점 개수나 전 구간의 조건을 그래프로 확인해야 합니다. 13·14·18번은 적분과 교점 해석, 19번은 합성 구조의 실근 개수, 21·22번은 극값과 부호 조건의 결합이 중요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 개인별 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 정적분의 연결

도함수의활용은 접선, 평균값정리, 극대·극소, 운동, 실근 개수, 항상 성립하는 부등식까지 폭넓게 출제되었습니다. 도함수를 구하는 데서 끝내지 말고 그 부호가 원함수의 증가·감소와 어떤 관계인지 설명할 수 있어야 합니다. 5·6번의 기본 극값 판단은 19·20·22번의 조건 해석으로 이어지는 바탕입니다.

정적분은 단순 계산보다 적분으로 만든 함수의 모양을 이해하는 연습이 중요합니다. 11번에서 적분식과 미분을 연결한 뒤 13·14·18번의 교점 개수로 확장해 보세요. 21번은 적분값이 모든 실수에서 일정한 부호를 유지한다는 조건을 극소와 도함수의 관계로 옮겨야 합니다.

부정적분과 넓이 문항도 연결 개념을 점검합니다. 9번에서는 적분상수를 경계의 연속성으로 정하고, 12·16번에서는 교점과 위아래 관계를 먼저 확인해야 합니다. 정적분의 부호 있는 값과 도형의 넓이를 구별하는 습관이 절댓값 적분에도 도움이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 원래 표현을 그래프나 구간별 함수로 바꾼 뒤 경계를 확인해야 한다는 것입니다. 계산 전에 변환한 함수의 의미와 구간을 적으면 풀이 도중 기준이 바뀌는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 직접 적용할 수 있는 미분·적분과 접선 문항을 먼저 확보하세요. 13·14번에서 교점 분류가 길어지면 표시해 두고 15~17번의 접근 가능성을 확인하는 편이 좋습니다. 후반의 20번도 최댓값으로 바꾸는 출발점이 보이면 시도할 수 있으므로 번호 순서에만 묶이지 마세요.

서술·단답형에서는 계산의 출발 근거를 남기세요. 16번은 접선식과 교점, 17번은 중복 인수, 20번은 전 구간의 최대, 21번은 누적 적분의 최소 조건을 먼저 정리하는 것이 좋습니다. 연습할 때 식을 세우는 시간과 계산 시간을 구별해 기록하면 어느 단계에서 막히는지 알 수 있습니다.

마지막에는 경계와 부호를 우선 검토하세요. 6번은 도함수가 중근을 갖는 경우, 10번은 자연수와 등호 조건, 18번은 열린구간의 끝점이 중요합니다. 21번은 기준점보다 왼쪽에서 적분 방향이 뒤집힌다는 점을 확인하고, 22번은 절댓값 안의 영점에서 실제로 미분불가능한지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분계수와 도함수의 의미부터 복습하세요. 평균변화율, 접선의 기울기, 위치의 변화율을 구별해 설명하세요(1·2·8·15번 대비).
2. 도함수 부호표로 극대·극소를 판단하세요. 영점만 찾지 말고 중근에서 부호가 유지되는 경우도 확인하세요(3·5·6번 대비).
3. 부정적분과 적분상수의 결정을 연습하세요. 구간별 원함수를 연속성으로 연결하고 적분식을 미분하는 과정을 정리하세요(4·9·11번 대비).
4. 절댓값 적분과 넓이는 구간 분할을 먼저 하세요. 교점, 함수의 대소, 대칭성을 확인한 뒤 적분식을 쓰세요(7·12·16·18번 대비).
5. 실근 개수는 그래프와 수평선의 교점으로 바꾸세요. 극값 높이와 경계에서의 중복을 확인하고 합성 구조로 확장하세요(13·14·19번 대비).
6. 항상 성립하는 조건과 미분불가능성을 종합 연습하세요. 전 구간의 최대·최소와 절댓값의 좌우 부호를 근거로 설명하세요(17·20·21·22번 대비).