작전고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

작전고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

작전고등학교는 인천 계양구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 다항함수의 미분과 적분을 바탕으로 극대·극소, 방정식의 실근, 도형의 넓이, 직선 위의 운동을 다룹니다.

초반에는 도함수의 부호, 다항식의 정적분, 초기 조건을 이용한 함수 복원처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 적분으로 정의된 함수를 미분하거나, 함수의 차를 만들어 부등식을 최솟값 문제로 바꾸는 판단이 필요합니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 함수를 살필 것인지 정하는 능력이 중요합니다.

후반에는 함수의 형태를 정한 뒤 그래프 조건으로 후보를 제한하는 문항이 이어집니다. 미분해서 얻은 근만 나열하거나 적분 계산만 마치는 것으로는 부족합니다. 정의역 안에서 부호가 어떻게 바뀌는지, 얻은 함수가 원래 조건을 만족하는지까지 확인하는 풀이 습관이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반의 함수 추론과 조건 검토

쉬움 문항은 1~5번과 20번입니다. 도함수의 부호 변화, 적분상수 결정, 정적분의 기본 계산을 정확히 처리하면 풀이 흐름을 잡을 수 있습니다. 특히 20번은 서술·단답형이지만 곡선과 축 사이의 넓이를 다루는 기본형이므로 후반까지 미뤄 두지 않는 편이 좋습니다.

보통 문항에서는 그래프와 식을 오가야 합니다. 6번은 속도와 속력의 차이, 8번은 정적분의 극한을 미분계수로 읽는 과정, 10번은 양의 실근이라는 범위 제한이 중요합니다. 기본 계산이 익숙해도 문제에서 제한한 구간과 서로 다른 근의 의미를 놓치면 판단이 달라집니다.

어려움은 11번 이후에 분포하며 14~19번에 연속됩니다. 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 함수 결정, 경우 분류, 조건 재확인이 겹치는 문항이 후반에 이어지므로 앞부분에서 계산 시간을 줄이는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 정적분의 연결

도함수의활용은 극대·극소에서 시작해 부등식의 성립 조건, 실근 개수, 닫힌구간의 최대·최소로 이어집니다. 19·22번에서는 도함수의 인수 구조를 정하고 임계점의 순서에 따라 그래프를 나누어 봐야 합니다. 도함수의 근을 구하는 계산보다 그 근이 그래프에서 어떤 역할을 하는지 설명하는 연습이 중요합니다.

정적분은 단순 계산 외에도 적분을 포함한 등식, 적분으로 정의된 함수의 미분과 극한, 구간 이동 관계를 다룹니다. 5번처럼 적분값을 상수로 두는 유형과 15번처럼 적분의 끝에 변수가 있어 미분하는 유형을 구별하세요. 겉모양이 비슷해도 적분값이 변수에 따라 달라지는지가 출발점을 가릅니다.

정적분의활용에서는 넓이와 이동 거리가 함께 출제됩니다. 11·12번은 경계와 위아래 관계를 정해야 하고, 21번은 위치 차와 실제 이동 거리를 구별해야 합니다. 부정적분도 3번의 초기 조건 적용에서 16번의 극값 조건 연결로 확장되므로 적분 공식만 외우는 방식으로는 충분하지 않습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 방정식을 푼 뒤에도 그래프와 정의역으로 돌아가 후보를 검토해야 합니다. 계산 전에 구간을 나누는 기준을 적어 두면 풀이 중 조건을 잃어버리는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본형을 정확하게 처리하고 전체 문항을 훑어보세요. 11번에서 넓이 관계가 바로 보이지 않으면 표시한 뒤 12·13번으로 이어가고, 14~19번에 오래 머물기 전에 20번도 확인하세요. 서술·단답형이라는 이유만으로 풀이를 미루면 확보할 수 있는 기본 문항을 놓칠 수 있습니다.

넓이와 운동 문항은 적분 전에 그림과 부호표를 남기세요. 6번은 속력과 속도, 11·12번은 영역의 경계, 21번은 두 점 사이 거리와 한 점의 이동 거리를 구별해야 합니다. 특히 처음이라는 조건은 시간 후보 하나를 찾았다는 사실만으로 충족되지 않으므로 그 이전의 증감을 확인해야 합니다.

마지막 검토는 반복 계산보다 조건 누락에 집중하세요. 10번은 양의 실근과 경계, 13번은 끝점과 극점의 비교, 15번은 원래 적분 등식의 만족 여부, 19·22번은 임계점이 겹치는 경우를 확인하세요. 연습할 때는 계산이 막혔는지 경우를 나누는 기준이 안 보였는지를 구분해 복습하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 다항식 적분의 기본 계산을 먼저 정리하세요. 부호표 작성, 적분상수 결정, 위끝과 아래끝의 대입을 묶어 연습하세요(1·2·3·4·20번 대비).
2. 적분이 포함된 함수 등식에서 적분값이 상수인지 변수에 따라 달라지는지 구별하세요. 상수 치환과 양변 미분을 선택하고 원래 조건까지 확인하세요(5·7·8·15·16번 대비).
3. 함수의 차와 도함수의 부호로 최대·최소와 부등식을 연결하세요. 구간 끝점과 내부 임계점을 함께 비교하세요(9·13·14번 대비).
4. 넓이 문제는 교점과 축과의 교점을 먼저 표시하세요. 위아래 관계를 나눈 뒤 넓이의 합이나 차로 적분을 정리하세요(11·12·20번 대비).
5. 속도 그래프와 위치함수를 함께 연습하세요. 방향 전환 시각, 초기 위치, 최초 도달 조건을 확인한 뒤 이동 거리를 적분하세요(4·6·21번 대비).
6. 실근 개수는 수평선과 그래프의 교점으로 설명하세요. 임계점의 순서가 바뀌거나 겹치는 경계까지 경우를 나누세요(10·19·22번 대비).
7. 구간 이동 관계와 적분의 차를 활용하는 유형을 연습하세요. 반복 적분이나 개별 계산 전에 짝짓기와 인수분해로 식을 줄일 수 있는지 살펴보세요(17·18번 대비).