문현고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

문현고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 시험은 집합과 명제, 원의방정식, 도형의이동, 절대부등식에서 출제됐습니다. 객관식에서 개념 판별과 계산을 확인한 뒤, 마지막 서술·단답형에서 원의 공통부분 넓이와 논리적인 증명 과정을 다루는 구성입니다.

초반에는 원소와 집합의 관계, 필요조건과 충분조건, 집합 연산, 원의 접선처럼 익숙한 개념이 나옵니다. 다만 쉬운 개념도 문장의 방향이나 기호를 잘못 읽으면 풀이가 달라집니다. 공식을 외웠는지 확인하는 데 그치지 않고, 주어진 조건을 알맞은 수학적 표현으로 옮기는지를 살피며 공부해야 합니다.

후반에서는 계산에 들어가기 전 판단할 일이 많아집니다. 15번은 충분조건을 진리집합의 포함 관계로 바꾸고, 16번은 차집합이 가질 수 있는 크기를 먼저 제한해야 합니다. 20번은 소수의 홀짝과 나머지 성질을 연결하는 증명이어서, 앞 문항에서 확보한 시간을 답안 작성에 남겨 두는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 문항 이후 후반에 모인 어려움

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 문항은 1~5번과 10번으로, 초반 개념 확인과 이동의 기본 성질에서 시간을 확보할 수 있는 구성입니다. 그러나 1번은 원소와 부분집합의 구별, 2번은 조건의 방향처럼 읽기 실수가 생길 수 있으므로 기호를 확인하는 짧은 검토는 필요합니다.

보통 구간은 접선, 거리의 최대·최소, 진리집합, 대칭이동이 번갈아 나옵니다. 12번은 대칭이동의 반복을 기록해야 하고, 14번은 도형의 이동을 방정식의 변수 치환으로 옮겨야 합니다. 분류가 같더라도 필요한 풀이 방식은 다르므로 계산량만으로 먼저 풀 문항을 고르지 마세요.

어려움 문항이 이어지는 15~17번을 지나면 18·19번은 보통으로 분류돼 있습니다. 후반을 모두 같은 난도로 생각해 남은 문항을 포기할 필요는 없습니다. 마지막 20번에는 증명에 필요한 문장을 적을 시간이 들므로, 객관식의 막힌 문항에 계속 머물기보다 전체를 살펴보는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 집합과 명제의 비중, 좌표 기하의 연결

집합은 기본 기호에서 연산 법칙, 원소 수, 포함 관계를 이용한 개수 세기까지 범위가 넓습니다. 특히 11번은 조건으로 표현한 수가 실제로 만들어지는지 확인하고, 16번은 집합의 크기와 원소의 합을 구분해야 합니다. 원소를 직접 나열하는 연습과 관계식으로 제한을 찾는 연습을 함께 해야 합니다.

명제에서는 2번의 필요·충분조건이 7번의 역과 부정, 9번의 존재 조건, 15번의 매개변수 조건으로 이어집니다. 마지막 20번은 증명 과정까지 요구합니다. 같은 단원 안에서 개념 판별과 증명이 함께 나오므로 참·거짓만 표시하는 공부에서 멈추지 말고, 판단 근거를 문장으로 설명해 보세요.

원의방정식과 도형의이동에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 없지만, 해석 과정은 가볍지 않습니다. 넓이를 높이의 범위로 바꾸는 8번, 꺾인 경로를 대칭이동으로 펴는 13번, 공통부분을 나누어 계산하는 19번이 대표적입니다. 절대부등식은 17번만 출제됐으나 식을 적절히 변형해야 하므로 단원 비중만 보고 준비에서 제외해서는 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 어려움 위치의 변화

작년과 올해의 과목은 모두 수학(하)입니다. 총 문항과 서술·단답 문항은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 늘었습니다. 쉬움도 늘었으므로, 전체가 일괄적으로 어려워졌다기보다 기본 문항에서 시간을 확보하고 후반의 사고 문항에 쓰는 운영을 준비하는 편이 적절합니다.

겹치는 단원을 비교하면 집합은 작년과 올해 모두 6문항입니다. 명제는 7문항에서 5문항으로, 도형의이동은 7문항에서 4문항으로, 절대부등식은 2문항에서 1문항으로 줄었습니다. 집합은 문항 수가 유지되면서 올해 가장 많은 단원이 됐으므로 기본 연산부터 원소 수 조건까지 연결해 복습하세요.

작년의 어려움은 15·17·18번이었고, 올해는 15·16·17번과 마지막 20번입니다. 올해는 서술·단답형에도 어려움 문항이 있으므로 객관식을 마친 뒤 남은 시간만으로 서술 답안을 쓰려는 계획은 피하세요. 다음 시험 준비에서는 조건 해석과 증명 작성을 묶어 연습할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 자료를 읽고 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 가능한 상황을 제한해야 한다는 것입니다. 풀이를 시작할 때 주어진 조건과 그 조건에서 얻는 결론을 짧게 적으면, 불필요한 전개를 줄이고 논리의 누락도 확인할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때에는 1~5번과 10번의 개념 판단을 안정적으로 처리하고, 보통 문항에서는 사용할 도구가 바로 떠오르는지 확인하세요. 15~17번에서 식을 세우지 못한 채 계산만 길어지면 표시해 두고 18·19번과 서술 답안의 분량을 먼저 살펴보세요. 실제 제한 시간에 맞춰 이런 이동 순서를 연습하는 것이 좋습니다.

놓치기 쉬운 조건은 명제의 방향과 경계 포함 여부입니다. 7번에서 역을 만들 때 부정을 임의로 없애면 안 되고, 9번에서는 구간 끝점이 공통 원소인지 따져야 합니다. 15번의 엄격한 부등호, 17번의 양수 범위와 등호 성립 가능성도 계산이 끝난 뒤 원래 조건에 대조하세요.

도형에서는 얻은 최솟값이 실제 배치에서 가능한지 확인해야 합니다. 13번의 직선 경로가 지정된 변을 지나는지, 19번의 공통영역을 올바르게 나눴는지 그림으로 검토하세요. 20번은 결론만 적지 말고 가정, 성질의 적용, 모순 또는 결론의 연결을 남길 수 있도록 답안 작성 시간을 확보하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합 기호와 연산 법칙부터 점검하세요. 원소 관계와 포함 관계를 구분하고, 벤다이어그램과 식을 서로 바꾸어 설명하는 연습이 출발점입니다(1·3·5번 대비).
2. 명제를 수직선과 진리집합으로 바꾸세요. 필요·충분조건, 역과 부정, 존재 조건을 구별한 뒤 상수가 있는 문제로 확장하세요(2·7·9·15번 대비).
3. 집합의 개수 조건은 필수 원소와 선택 원소로 나누세요. 가능한 크기의 범위와 실제 구성 여부를 확인한 뒤 원소 합의 최대·최소로 넘어가세요(11·16·18번 대비).
4. 원의 중심·반지름과 거리 공식을 연결하세요. 접선 조건, 높이의 최대·최소, 공통영역 분할을 간단한 그림으로 먼저 설명해 보세요(4·6·8·19번 대비).
5. 대칭이동은 좌표 기록과 그림을 함께 사용하세요. 반복 상태를 찾고 경로를 펴는 연습을 한 뒤, 이동을 방정식의 변수 치환으로 표현하세요(10·12·13·14번 대비).
6. 식의 변형과 논증을 마무리하세요. 부등식의 등호 조건을 원래 범위에 대조하고, 소수의 홀짝·나머지 논리를 근거가 이어지는 문장으로 작성하세요(17·20번 대비).