문현고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

문현고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 순열조합, 함수, 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수입니다. 경우의 수와 함수가 번갈아 등장하므로 단원마다 풀이의 출발점을 빠르게 바꾸어야 합니다.

경우의 수에서는 조합 공식을 아는 것에 더해 무엇을 먼저 정할지 판단해야 합니다. 이웃하는 책을 묶는 배열, 증가하는 함수의 개수, 색칠, 학생 분배가 서로 다른 형태로 제시됩니다. 순서가 있는지, 빈 집단을 허용하는지, 나눈 집단에 이름이 붙는지를 구별하는 연습이 필요합니다.

함수에서는 식과 그래프를 함께 읽는 능력이 중요합니다. 절댓값 함수의 일대일대응, 유리함수의 점근선, 무리함수의 정의역과 치역, 합성함수의 구간 구분이 이어집니다. 후반에는 주어진 규칙을 반복하거나 서로 다른 구간의 치역을 연결하므로, 계산 전에 조건을 정리하는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반 조건 해석에 대비

쉬움 문항은 초반의 1·2·3번과 역함수의 함숫값을 다루는 9번입니다. 합과 곱의 법칙, 무리식 계산, 역함수의 의미를 정확히 적용하는 구간입니다. 쉬움으로 분류되어도 주사위의 구별이나 역함수에 넣는 값의 부호를 놓치면 실수할 수 있습니다.

보통 문항의 비중이 가장 큽니다. 4번의 묶음과 틈, 13번의 인접 관계, 17번의 교점과 넓이처럼 계산 전에 상황을 바꾸어 표현해야 하는 문항이 포함됩니다. 따라서 보통이라는 분류를 단순 대입형이라는 뜻으로 받아들이지 말고, 대표적인 접근을 설명할 수 있는지 확인하세요.

자동 분류 기준 어려움은 20·22·23번입니다. 각각 자연수 입력을 줄이는 반복 규칙, 제한이 있는 공의 분배, 구간별 함수의 치역과 일대일 조건을 다룹니다. 서술·단답형 중 21번은 보통이므로 객관식 마지막 문제에 막혔다고 서술·단답형 전체를 뒤로 미루지 않는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 범위 해석

순열조합은 기본적인 선택에서 조건부 배열과 분배까지 범위가 넓습니다. 11번은 증가 조건 때문에 고른 원소의 대응 순서가 정해지고, 18번은 집단의 크기를 정한 뒤 학생을 나누고 문제에 대응시키는 구조입니다. 공식을 먼저 고르기보다 서로 다른 결과를 무엇으로 구별하는지 적어 보세요.

무리함수로 분류된 문항에는 3번의 무리식 계산과 15번의 유리함수 그래프 해석도 포함됩니다. 특히 15번은 그래프에서 알아낸 계수의 부호를 무리함수의 시작점으로 옮깁니다. 23번도 유리함수와 무리함수를 함께 다루므로 단원 분류와 실제 풀이에 필요한 개념을 함께 살펴야 합니다.

함수와 합성함수와역함수에서는 정의를 조건으로 활용하는 능력이 드러납니다. 5번은 같은 함숫값을 갖는 입력끼리 묶고, 6번은 구간별 기울기로 일대일대응을 판단합니다. 유리함수는 8번의 기본 그래프에서 16번의 거리, 17번의 넓이로 연결되므로 점근선과 대칭 중심을 도형 해석의 출발점으로 삼으세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 조건 처리 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 가능한 범위를 정하는 일과 그 범위가 실제로 성립하는지 확인하는 일이 구별된다는 것입니다. 상한을 얻거나 식을 세운 뒤에는 허용 조건과 경계로 돌아가 풀이를 마무리하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 조건을 바로 정리할 수 있는 문항을 확보하세요. 경우 나누기가 길어지는 13·18번이나 도형 해석이 필요한 16·17번에서 멈추면 표시하고 넘어가는 연습이 좋습니다. 20번에 오래 머무르기 전에 21번의 반복 합성 구조를 확인하고, 22·23번의 조건을 읽을 시간을 남기세요.

경우의 수 검토에서는 같은 결과를 중복해서 셌는지와 빠진 경우가 있는지를 나누어 확인하세요. 4번은 묶음 내부 배열, 11번은 증가 조건에 따른 대응의 유일성, 18번은 집단과 문제의 대응이 핵심입니다. 22번은 최소 배분량을 조정한 뒤에도 바구니별 최대 허용량이 유지되는지 점검하세요.

함수 검토에서는 정의역과 치역의 끝점을 우선 보세요. 7번은 제한 구간 전체의 정의 가능성, 14번은 제곱 전의 부호 조건, 19번은 합성 과정에서 새로 생긴 구간 경계를 확인해야 합니다. 23번은 각 치역의 끝점에 포함 표시를 해 두면 겹침과 누락을 빠르게 검사할 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열과 조합의 구별부터 복습하세요. 서로 배타적인 경우인지, 선택의 순서를 구별하는지 말로 설명해 보세요(1·2·10번 대비).
2. 조건부 배열과 색칠을 연습하세요. 묶음과 틈을 그리거나 인접 관계를 표시한 뒤 경우를 나누세요(4·13번 대비).
3. 함수의 개수와 분배를 단계별로 세어 보세요. 먼저 정할 대상, 남은 선택, 중복 여부를 차례로 기록하세요(5·11·18·22번 대비).
4. 함수의 정의와 그래프의 범위를 연결하세요. 일대일대응, 상수함수, 항등함수의 성질을 대응표와 구간별 그래프로 확인하세요(6·12·23번 대비).
5. 유리함수의 점근선과 무리함수의 시작점을 먼저 표시하세요. 이후 거리·넓이·역함수 교점으로 확장하며 제곱 전 조건을 남겨 두세요(7·8·14·15·16·17번 대비).
6. 합성과 반복 규칙은 중간값을 생략하지 않고 연습하세요. 입력이 속한 구간이나 나머지를 매번 확인한 뒤, 최댓값 또는 최초 도달 조건까지 설명하세요(9·19·20·21번 대비).