문현고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

문현고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 그래프 해석에서 출발해 반복 합성과 최솟값, 조건부 경우의 수까지 다룹니다.

함수 문항은 식의 계산과 그래프 해석을 오갑니다. 점근선을 읽어 식을 정하거나, 그래프의 시작점과 증가·감소를 이용해 만남을 판단해야 합니다. 역함수와 합성함수에서도 기호만 조작하기보다 입력이 어느 범위를 움직이는지 확인하는 능력이 중요합니다.

순열조합은 기호 계산에 그치지 않습니다. 색칠하기, 약수, 사전식 배열, 지불 방법과 금액, 점을 골라 만드는 도형으로 소재가 다양합니다. 상황을 보고 곱의 법칙을 쓸지, 전체에서 제외할지 결정해야 하므로 공식과 함께 세는 대상의 의미를 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형을 확보하고 후반 조건 해석에 대비

쉬움 문항은 초반에만 있는 것이 아닙니다. 8·9·11·14번에도 분포하므로 중간에 막힌 문제가 생겨도 뒤의 기본형을 확인하세요. 함수의 뜻, 점근선, 순열과 조합의 기호를 정확히 아는 학생이라면 이 구간에서 풀이 시간을 줄일 수 있습니다.

보통 문항은 절댓값 함수의 일대일대응, 무리함수의 그래프와 직선, 역함수의 관계, 지불 상황 해석을 다룹니다. 특히 10번은 여러 진술을 각각 점검해야 하고, 16번은 같은 금액을 만드는 서로 다른 방법을 구별해야 합니다. 겉보기 계산량보다 조건 확인에 시간이 필요한 구간입니다.

어려움은 17·19·20번에 모여 있지만 18번은 보통으로 분류됩니다. 객관식을 모두 마친 뒤에야 서술·단답형을 보려 하면 반복 합성의 구조가 보이는 18번까지 늦어질 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 체감은 그래프 해석과 경우 분류에 대한 숙련도에 따라 달라집니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 유리함수의 심화

가장 많은 순열조합에서는 기본 기호를 다루는 2·5번과 상황을 해석하는 7·9·11·16·20번이 함께 나옵니다. 약수는 소인수의 지수를 고르는 과정으로, 사전식 배열은 앞자리가 같은 묶음으로 바꾸어 볼 수 있습니다. 문제의 소재가 달라도 선택 단계를 분리하는 원리는 연결됩니다.

유리함수는 기본형과 심화형의 간격이 뚜렷합니다. 4·8번에서 점근선과 그래프의 정보를 읽고, 17·19번에서는 그 성질을 구간별 최솟값이나 교점 조건으로 확장합니다. 점근선을 외우는 데서 멈추지 말고 각 가지에서 함숫값의 부호와 변화 방향을 설명할 수 있어야 합니다.

무리함수는 정의역·치역, 직선과의 만남, 길이의 최솟값으로 이어집니다. 합성함수와역함수는 증가함수의 교점 성질과 반복 합성, 역함수의 입력·출력 관계가 중심입니다. 함수 단원의 일대일대응 조건은 이들 단원을 이해하는 바탕이므로 먼저 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 감소와 후반 고난도 배치 유지

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 23문항에서 20문항으로 줄었고 서술·단답형은 각각 3문항입니다. 자동 분류 기준 어려움은 3문항으로 같지만 쉬움은 늘고 보통은 줄었습니다. 전체 분포는 기본형의 비중이 커진 방향이지만, 어려움 문항의 수가 줄었다고 해석해서는 안 됩니다.

순열조합은 작년 8문항, 올해 7문항으로 모두 가장 많습니다. 무리함수는 5문항에서 3문항, 함수는 4문항에서 2문항으로 줄었고, 유리함수와 합성함수와역함수는 각각 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 전체 문항 감소와 함께 단원별 구성이 달라졌다는 점을 고려해 준비하세요.

작년 어려움은 20·22·23번, 올해는 17·19·20번입니다. 두 시험 모두 객관식 마지막과 서술·단답형 후반에 위치합니다. 다만 올해는 유리함수의 17·19번과 순열조합의 20번이므로, 작년의 번호나 단원만 따라가기보다 기본 개념을 구간 조건과 제외 경우로 확장하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 이용자 투표로 정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 범위를 나누거나 제외 대상을 정해야 합니다. 풀이를 복습할 때 결과만 다시 계산하기보다 왜 그 구간과 경우가 빠짐없는지 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기호 계산과 그래프의 기본 정보를 읽는 문항을 먼저 확보하세요. 6·7번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 뒤 문항을 확인하는 방식이 좋습니다. 17번에 오래 머무르기 전에 18번의 대응 구조를 살펴보고, 서술·단답형의 각 소문항도 접근 가능한 부분부터 풀어 보세요.

함수 문제에서는 정의역, 치역, 제외값을 풀이 첫 줄에 적어 두세요. 10번은 역함수의 정의역 제한, 12번은 시작점에서 만나는 경계, 13번은 공통 높이의 범위가 중요합니다. 17·19번은 분모를 없애거나 식을 바꾸기 전에 원래 허용되지 않는 입력을 표시해 두면 검토가 쉬워집니다.

경우의 수는 세는 대상을 문장으로 먼저 적으세요. 7번의 모든 색 사용, 16번의 방법과 금액의 구별, 20번의 일직선 조건은 계산 뒤에 덧붙일 사항이 아닙니다. 마지막 검토에서는 함숫값의 반복 경로, 구간 끝점의 포함 여부, 제외 경우의 중복을 우선 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 뜻과 일대일대응을 먼저 정리하세요. 공역에 속하는지와 전체에서 한 번씩 대응하는지를 구별하고 절댓값 함수의 구간별 기울기를 그려 보세요(1·6번 대비).
2. 순열·조합의 기호를 선택과 배열의 말로 풀어 쓰세요. 약수의 지수 선택과 사전식 배열의 묶음 계산까지 연결해 기본형을 익히세요(2·5·9·11번 대비).
3. 역함수의 입력·출력 관계와 반복 합성을 연습하세요. 유한집합에서는 화살표로 순환을 그리고 그래프에서는 입력의 이동을 표시하세요(3·14·15·18번 대비).
4. 유리함수는 점근선과 절편에서 시작해 구간별 부호와 변화 방향으로 확장하세요. 교점 좌표를 새 변수의 함수로 표현하는 연습도 하세요(4·8·17·19번 대비).
5. 무리함수는 시작점과 정의역·치역을 먼저 적으세요. 직선과의 위치 관계를 스케치하고 같은 높이로 길이를 표현하는 유형을 이어 풀어 보세요(10·12·13번 대비).
6. 조건이 있는 경우의 수를 집중적으로 복습하세요. 모든 색 사용, 금액 중복, 일직선 위의 점 선택처럼 제외할 대상을 표로 정리하고 전체 선택과 대조하세요(7·16·20번 대비).