문현고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

문현고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 순열조합, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 경우의 수의 기초와 함수의 성질을 함께 점검하는 구성입니다.

초반에는 합의 법칙과 곱의 법칙, 순열·조합 기호, 유리식의 연산과 점근선처럼 개념을 바로 적용할 수 있는 문항이 배치되어 있습니다. 다만 함수가 같다는 조건을 정의역의 선택으로 옮기거나 역함수의 입력을 원래 함수의 출력으로 바꾸는 과정에서는 용어의 뜻을 정확히 알아야 합니다.

후반에는 그래프의 대칭을 도형의 넓이와 연결하고, 이웃 조건이 겹치는 배정을 분리해 세는 문항이 등장합니다. 같은 단원에서도 기본 공식 적용과 구조 해석의 간격이 있으므로, 공식을 익힌 뒤 왜 그 방법을 택하는지 말로 설명하는 연습까지 이어 가세요.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반의 구조 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 넓게 분포하며 서술·단답형 18번도 포함합니다. 3·5번은 기호의 의미, 6번은 합성의 역함수에서 순서를 뒤집는 성질을 확인합니다. 계산을 빨리 시작하기보다 적용할 정의와 순서를 짧게 점검하면 실수를 줄일 수 있습니다.

보통 문항에서는 조건을 다른 표현으로 옮기는 단계가 더해집니다. 8번은 함수의 같음을 만족시키는 정의역, 12번은 그래프의 시작점과 직선의 위치, 15번은 합성함수의 입력 후보를 되짚는 과정이 중요합니다. 식으로 얻은 후보가 해당 정의역에 들어가는지까지 확인하세요.

자동 분류 기준 어려움은 후반에 분포하지만 18번과 20번은 각각 쉬움과 보통입니다. 따라서 17번에서 막혔다고 이후 문항을 한꺼번에 미루지 않는 편이 좋습니다. 이 분포는 자동 분류 결과이며, 개인이 익숙한 유형에 따라 실제 풀이 부담은 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 출제 비중이 가장 높고 다루는 내용도 다양합니다. 합과 곱의 법칙, 기호의 정의, 약수의 개수, 적어도 조건의 여사건에서 시작해 방의 이웃 관계와 타일 배치의 경우 분류까지 이어집니다. 순서를 구별하는지와 분류한 경우가 겹치는지를 매번 확인하는 것이 공통 학습 과제입니다.

유리함수는 연산과 점근선의 기본형 외에 대칭성과 도형, 합성까지 연결됩니다. 특히 16·19번은 그래프에서 읽은 성질을 대수적 관계로 바꾸어야 합니다. 무리함수도 치역과 직선의 위치 관계를 익힌 뒤 14번처럼 대칭이동으로 넓이를 해석하는 유형으로 확장해 보세요.

합성함수와역함수에서는 계산식보다 입력과 출력의 대응을 먼저 정리하세요. 구간별 함수의 역함수는 어느 조각에 대응하는지, 합성함수는 중간 함숫값이 무엇인지가 핵심입니다. 함수 단원의 8번도 같은 관점에서 정의역의 모든 원소가 조건을 만족해야 함을 확인합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술형 감소와 어려움 문항의 분산

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 작년 18·19·20번에서 올해 18·19번으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 쉬움과 어려움은 늘고 보통은 줄어, 기본형을 확보하면서 별도로 복합 유형에 대비할 필요가 있습니다.

순열조합은 작년에도 가장 많은 단원이었고 올해 비중이 더 커졌습니다. 유리함수, 합성함수와역함수, 무리함수의 문항 수는 각각 작년과 같고 함수는 줄었습니다. 따라서 경우의 수의 기본 개념을 빠뜨리지 않으면서 함수의 해석 유형을 함께 준비하는 학습 방향이 적절합니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 17·19·20번이었으나 올해는 14·16·17·19번입니다. 올해는 서술·단답형에 도달하기 전에도 주의할 문항이 등장합니다. 다음 시험을 준비할 때도 뒤 번호만 집중적으로 연습하기보다 전 범위에서 대칭성 활용과 중복 없는 경우 분류를 익히세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 관계를 정리해야 합니다. 그래프에서는 이동과 대칭, 배정에서는 겹치지 않는 경우 분류를 먼저 찾는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 개념 적용이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 초반 순열조합 문항도 선택과 배정을 구별하고, 유리식은 통분 후 부호를 확인해야 합니다. 14·16·17번에서 구조를 찾는 데 시간이 걸리면 표시해 두고 18번과 20번의 접근 가능성을 확인하세요.

서술·단답형 18번은 역함수의 조건을 원래 함수의 대응으로 바꾸는 출발점을 적어 두세요. 19번은 그래프의 위치, 정의역과 통과 영역, 대칭과 합성의 연결을 구별해 정리하는 것이 좋습니다. 전체 풀이를 한 덩어리로 쓰기보다 각 판단에 사용한 성질을 짧게 남기면 검토하기 쉽습니다.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 2번은 자릿수의 제한, 8번은 공집합 제외, 12번은 시작점에서 만나는 경계의 제외가 중요합니다. 13·15번은 구간별 식과 정의역, 17번은 이미 사용한 방을 다시 고르지 않았는지, 19번은 그래프를 해석할 때 정의역을 반영했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합의 법칙과 곱의 법칙부터 복습하세요. 경우를 더하는 이유와 단계별로 곱하는 이유를 말로 구별하고 약수의 개수에도 적용하세요(1·2·7번 대비).
2. 순열·조합의 정의와 여사건을 정리하세요. 고르기와 역할 배정을 구분한 뒤 특정 대상을 포함하거나 제외하는 분류로 확장하세요(3·5·11·20번 대비).
3. 역함수의 대응과 합성 순서를 연습하세요. 원래 함수로 되돌린 조건을 적고 구간별 함수에서는 대응하는 조각을 확인하세요(6·13·15·18번 대비).
4. 정의역과 치역을 먼저 쓰는 습관을 들이세요. 함수의 같음, 무리함수의 시작점, 직선과의 만남 여부를 같은 그림에 표시해 보세요(8·9·12번 대비).
5. 유리식 연산과 점근선을 익힌 뒤 대칭성을 도형과 합성에 연결하세요. 기본 그래프를 그린 다음 추가 조건을 표시하는 순서로 연습하세요(4·10·16·19번 대비).
6. 복합 유형은 계산 전에 구조를 설명하세요. 대칭이동으로 영역을 대응시키고, 이웃하는 배정은 가능한 방의 쌍을 나누어 중복 여부를 확인하세요(14·17번 대비).