한가람고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

한가람고 고1 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 시험은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동을 다룹니다. 두 점 사이의 거리와 내분점에서 시작해 원의 접선, 자취, 대칭이동을 이용한 최적화까지 이어집니다.

초반에는 공식의 정확한 적용을 확인하지만, 중반부터는 식을 기하적으로 읽는 능력이 필요합니다. 근호식이 거리의 합이라는 점을 알아보거나, 대칭이동으로 꺾인 경로를 펴는 방식처럼 풀이의 표현을 바꾸면 계산이 줄어듭니다.

후반 서술·단답형은 기본 접촉 조건부터 접기와 넓이 분할까지 폭이 넓습니다. 마지막에 배치됐다는 이유로 모두 어렵다고 판단하지 말고, 익숙한 접선·거리 관계부터 정리한 뒤 여러 조건을 연결하는 문항에 시간을 쓰세요.

난이도 분포 — 자동 분류 기준 어려움은 후반 서술형에 집중

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번과 11·18번입니다. 앞부분에서 좌표 공식과 접선 조건을 안정적으로 처리하고, 중간과 후반에 섞인 기본 문항도 놓치지 않는 운영이 필요합니다. 서술·단답형이라는 형식 자체가 높은 난도를 뜻하지는 않습니다.

보통으로 분류된 구간에는 거리의 합, 반복 대칭, 자취가 포함됩니다. 12번은 좌표뿐 아니라 다음 변환의 순서까지 되돌아왔는지 살펴야 하고, 13·14·16번은 부등식의 등호 조건이 관건입니다. 개념을 안다고 바로 계산이 끝나는 구간은 아닙니다.

어려움인 20번과 24번은 각각 접힌 원의 중심 복원, 직선의 교점과 범위·넓이 조건 연결이 필요합니다. 어려움 비중만 보고 후반 풀이 시간을 줄이면 도형 해석과 답안 정리에 필요한 여유가 부족해질 수 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식이 가장 많고 대칭·거리와 연결

원의방정식은 접선과 반지름의 수직 관계, 중심과 직선 사이의 거리, 원 위의 점까지의 거리를 반복해 사용합니다. 5·11번의 기본 성질이 21·23번의 조건 해석으로 이어지므로, 유형마다 별도 공식을 외우기보다 중심을 먼저 표시하는 습관을 들이세요.

평면좌표에서는 내분점과 거리 공식이 바탕입니다. 7번은 각의 이등분선으로 비를 정하고, 13번은 거리의 합을 도형으로 해석하며, 22번은 큰 거리와 작은 거리의 관계를 나눕니다. 같은 거리 공식도 조건에 맞는 표현을 고르는 과정이 중요합니다.

도형의이동은 좌표 변환, 반복 규칙, 원의 대칭과 접기로 확장됩니다. 직선의방정식은 문항 수가 적어도 24번에 어려움 문항이 있으므로 학습에서 빼기 어렵습니다. 직선의 교점을 구한 뒤 그 점이 선분 위에 있는지 판단하는 연습까지 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 원·평면좌표의 비중이 커짐

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 줄었고, 보통 문항 수는 늘었습니다. 총 문항 수도 늘었으므로 어려운 문제에 대한 대비와 함께 기본·중간 문항을 꾸준히 처리하는 연습이 필요합니다.

작년의 직선의방정식 7문항은 올해 3문항으로 줄었고, 원의방정식은 5문항에서 8문항으로 늘었습니다. 평면좌표도 2문항에서 7문항으로 늘어 올해는 원의 성질과 거리·내분의 연결이 더 큰 비중을 차지합니다. 단원 분류의 수치이며 개별 문제의 실제 체감 부담까지 같다는 뜻은 아닙니다.

작년 어려움은 10·12번 객관식과 15·17~20번 서술·단답형에 분포했지만, 올해는 20·24번 서술·단답형에 있습니다. 다음 시험 준비에서는 올해의 거리·대칭 유형을 먼저 정리하고, 작년 자료의 직선 조건과 경우 나누기도 보완하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 식을 세우기 전 도형의 관계를 확정해야 한다는 공통점이 있습니다. 20·24번은 자동 분류 기준 어려움이며, 14번은 조건 해석의 주의점을 보완하려고 선정했습니다. 계산을 길게 하기 전에 중심, 대칭축, 교점의 허용 위치를 그림에 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

1~6번을 풀며 공식 적용과 부호를 점검한 뒤, 중반에서 접근이 보이지 않는 문항은 표시하고 넘어가세요. 11번과 후반의 18번처럼 기본 성질로 풀리는 문항을 먼저 확보하는 것이 좋습니다. 객관식 끝부분에 오래 머물기 전에 서술·단답형의 구성을 훑어보세요.

서술·단답형에서는 17번의 평행과 한 점에서 만나는 경우, 18번의 절댓값에서 생기는 후보, 22번의 큰 거리와 작은 거리의 역할 교환을 빠짐없이 적어야 합니다. 계산 결과만 남기면 경우를 빠뜨렸는지 찾기 어려우므로, 경우를 나눈 기준을 답안 옆에 짧게 적으세요.

20·24번에는 그림을 읽고 조건을 연결할 여유를 남겨 두세요. 마지막 검토에서는 5번의 양수 조건, 12번의 변환 순서, 14·16·19번의 등호 성립 위치, 21번의 직선과 원의 위치 관계, 24번의 선분 범위를 확인하세요. 실제 시험 시간 정보는 없으므로 연습 풀이 기록에 맞춰 각 구간의 시간을 조절하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·내분·무게중심의 기본식을 정확히 적용하세요. 내분비의 방향과 외분의 부호를 그림으로 확인한 뒤 좌표를 계산합니다(1·2·3·7·8번 대비).
2. 원의 중심과 반지름을 먼저 찾고 접선의 수직 관계, 중심과 직선 사이의 거리를 연결하세요. 절댓값에서 생기는 후보도 모두 검토합니다(5·9·11·18·23번 대비).
3. 대칭이동을 한 번씩 기록하고 합성 순서와 반복 상태를 확인하세요. 점의 이동과 직선 방정식의 변환을 구분해 연습합니다(4·10·12번 대비).
4. 거리의 합과 최댓값을 도형으로 바꾸세요. 부등식만 제시하지 말고 등호가 가능한 점의 배치를 함께 그립니다(13·14·16·19·21번 대비).
5. 움직이는 점과 자취 위의 점을 서로 다른 문자로 두고 관계를 역으로 정리하세요. 큰 거리와 작은 거리의 역할을 바꾼 경우도 확인합니다(15·22번 대비).
6. 접기에서는 이동한 중심과 대칭축, 넓이 분할에서는 중심을 지나는 직선과 선분의 범위를 먼저 적으세요. 기본 직선 위치 관계를 정리한 뒤 복합 조건으로 확장합니다(17·20·24번 대비).