문현고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

문현고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 대수적인 해의 조건과 좌표평면의 도형 해석을 함께 준비해야 하는 시험입니다.

부등식에서는 해를 직접 구하는 기본형뿐 아니라 주어진 해에서 식의 성질을 거꾸로 추론하거나, 근이 특정 구간에 놓일 조건을 정리합니다. 도형에서는 내분과 외분, 거리, 넓이, 직선의 위치 관계를 연결합니다. 공식이 떠오르는 것과 그 공식을 적용할 조건을 확인하는 일을 함께 연습하세요.

객관식에서 기본형을 처리한 뒤에도 서술·단답형을 위한 시간이 필요합니다. 19번은 여러 부등식의 공통부분과 정수해 조건을, 20번은 교점과 접선의 수직 조건을 단계적으로 연결합니다. 앞에서 구한 관계를 뒤의 소문항에 활용하는 방식으로 풀이를 정리하는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 조건 해석

쉬움으로 분류된 3~6번은 절댓값 부등식, 이차부등식의 부호, 활용, 내분·외분 좌표를 확인합니다. 11·12번에서는 수직인 직선과 원을 나타낼 조건을 다룹니다. 이 구간은 계산을 마친 뒤 끝점 포함 여부와 반지름의 조건을 짧게 검토하는 습관이 중요합니다.

보통 문항은 초반부터 후반까지 흩어져 있습니다. 10번은 어떤 실수에서 성립한다는 조건과 모든 실수에서 성립한다는 조건을 구별하고, 16번은 원의 둘레를 나누는 기하 조건을 식으로 바꿉니다. 자동 분류 기준 보통이어도 해석이 늦어지면 시간이 길어질 수 있습니다.

13번에서 구간 안 실근의 존재를 검토하고, 17번에서는 움직이는 직선이 삼각형과 만나는 범위를 살핍니다. 마지막 19·20번도 어려움으로 분류되어 있으므로 객관식 한 문제에 오래 머무르는 운영은 피하세요. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 부등식과 직선의 방정식 중심

여러가지부등식은 기본 풀이에서 그래프 해석과 매개변수 조건으로 확장됩니다. 2·3·4·5번으로 부호와 해의 표현을 다지고, 10·13·18번에서 판별식과 축, 끝점의 함숫값을 연결하세요. 19번에서는 움직이는 해의 구간에 정수가 포함되는 조건까지 설명해야 합니다.

직선의방정식은 평행·수직과 거리의 기본에서 삼각형의 넓이, 정점을 지나는 직선, 곡선과의 교점으로 이어집니다. 8·11번의 공식을 정확하게 적용한 뒤 15번의 무게중심 조건과 17·20번의 복합 조건으로 넓혀 가세요. 도형을 그리는 과정이 식을 고르는 기준이 됩니다.

평면좌표의 6·7·14번은 내분과 외분을 길이 및 넓이 관계로 사용하는 문항입니다. 여러가지방정식의 9번에는 원과 직선의 접함이, 원의방정식의 16번에는 공통현과 중심 사이의 관계가 등장합니다. 단원별로 떨어뜨려 외우기보다 거리와 교점이라는 공통 개념으로 묶어 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 줄고 어려움은 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었습니다. 쉬움 문항도 늘어난 만큼, 문항 수 감소만으로 전체 시험의 부담이 줄었다고 판단하기는 어렵습니다. 기본형을 빠르게 끝내고 어려운 조건 해석에 시간을 배분하는 준비가 필요합니다.

작년에는 원의방정식·여러가지방정식·평면좌표가 각각 5문항으로 가장 많았습니다. 올해는 여러가지부등식이 8문항으로 중심이 되었고 직선의방정식은 작년 3문항에서 올해 5문항으로 늘었습니다. 반면 원의방정식과 여러가지방정식은 각각 2문항입니다. 다음 시험 대비에서는 기본 도형 공식을 유지하면서 부등식의 조건 분류를 우선 보완하세요.

작년의 어려움 문항은 19·23번이었고 올해는 13·17·19·20번입니다. 올해는 객관식 중간 이후부터 어려운 문항을 만나며 서술·단답형도 모두 해당합니다. 작년 문제를 복습할 때에도 번호 순서만 따라가기보다 근의 위치, 도형의 거리, 경우 분류처럼 개념별로 묶어 푸는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 그림과 경우 분류 기준이 필요합니다. 식을 정리한 뒤에는 처음의 구간, 직선의 방향, 정수 포함 조건으로 돌아가 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 부등식의 기본형과 거리·좌표 공식을 바로 적용할 수 있는 문항을 먼저 확보하세요. 13번에서 경우 분류가 길어지면 표시하고 뒤의 14·15번을 확인하는 방법이 있습니다. 후반부에도 보통 문항이 있으므로 앞의 어려운 문항을 해결할 때까지 다음 문제를 미루지 마세요.

서술·단답형은 초기에 훑어 소문항의 연결을 파악하세요. 19번에서는 각 해의 범위와 공통부분을 나누어 적고, 20번에서는 직선의 식과 교점의 관계를 정리한 결과를 다음 단계에 활용하세요. 마지막 소문항에서 막혀도 앞의 계산을 다시 시작하지 않도록 중간 관계를 명확히 남겨 두는 연습이 필요합니다.

검토는 조건을 중심으로 하세요. 2번은 음수로 나눌 때 부등호 방향, 12번은 원이 되기 위한 반지름의 조건, 14번은 외분점이 놓이는 방향을 확인하세요. 18번은 근의 존재와 위치를 함께 검사하고, 20번은 두 교점이 서로 달라야 한다는 조건까지 확인해야 풀이가 완성됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 해를 수직선에 표시하고 부등호의 등호 유무를 끝점 표시에 반영하세요. 절댓값과 이차식의 부호를 같은 방식으로 확인하세요(2·3·4·5번 대비).
2. 내분점과 외분점의 좌표를 구한 뒤 실제 위치를 그림으로 확인하세요. 같은 높이를 갖는 삼각형에서는 밑변의 비를 넓이의 비로 연결하세요(6·7·14번 대비).
3. 평행·수직인 직선의 식, 점과 직선 사이 거리, 삼각형 넓이를 묶어 연습하세요. 무게중심 조건을 좌표의 관계로 바꾸는 과정도 포함하세요(8·9·11·15번 대비).
4. 이차함수의 그래프에서 판별식, 축, 끝점의 함숫값이 각각 무엇을 보장하는지 설명하세요. 적어도 한 근과 두 근 모두의 조건을 구별하세요(10·13·18번 대비).
5. 매개변수가 있는 직선은 정점과 수직선의 예외부터 살펴보세요. 곡선과의 교점에서는 근과 계수의 관계를 활용하고 서로 다른 교점 조건을 검토하세요(17·20번 대비).
6. 원의 표준형과 공통현의 성질을 복습한 뒤, 매개변수에 따라 움직이는 부등식의 해를 나누어 정수 포함 여부를 검사하세요. 계산 결과보다 조건을 나눈 근거를 말로 설명하세요(12·16·19번 대비).