정신여자고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

정신여고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

정신여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 제공 자료의 출제 단원은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 다항식, 이차함수입니다. 좌표에서 도형의 관계를 읽는 능력이 시험 전반을 관통합니다.

기본 문항에서는 내분과 외분, 점과 직선 사이의 거리, 원의 중심과 반지름을 정확히 구분해야 합니다. 응용 문항에서는 같은 거리 공식을 사용하더라도 넓이의 최댓값과 최솟값, 접선이 만드는 도형, 중심의 자취처럼 해석 대상이 달라집니다.

서술·단답형은 계산 결과에 이르는 조건의 연결을 연습하기 좋은 구성입니다. 다만 15번은 제공 해설 자체에 조건의 양립 불가능성이 언급되어 있습니다. 이 문항은 원문 조건을 재확인할 필요가 있으며, 식을 변형할 수 있다는 사실만으로 도형이 실제로 존재한다고 판단해서는 안 됩니다.

난이도 분포 — 후반에도 기본 문항을 찾아야 하는 구성

쉬움 문항은 초반뿐 아니라 서술·단답형의 13·18번에도 있습니다. 내분점, 거리 공식, 지름으로 정하는 원, 이차부등식, 원과 직선의 위치 관계가 기본 점검 대상입니다. 후반이라는 이유로 이런 문항까지 미루면 확보할 수 있는 풀이 시간을 놓치게 됩니다.

보통 구간은 단순 대입에서 조건 해석으로 넘어가는 연결부입니다. 5번은 거리 차의 절댓값에 따라 점의 위치를 나누고, 7번은 넓이를 이차식으로 바꾸며, 14번은 거리 합의 등호 조건과 자연수 조건을 함께 확인해야 합니다.

어려움은 12번 이후에 배치되어 있지만 연속되지는 않습니다. 16번의 치환된 근, 17번의 원의 중심, 20번의 자취와 접선처럼 중간 대상을 먼저 구해야 하는 문제가 눈에 띕니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감이나 문항 간 난도 순위를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 원의방정식을 중심으로 연결되는 좌표 해석

원의방정식은 기본형부터 접선과 현의 관계, 여러 점이 같은 원 위에 놓이는 조건까지 폭이 넓습니다. 4·18번으로 중심과 반지름을 읽는 기본을 정리한 뒤, 9·11번에서 수선과 각의 이등분선으로 도형 구조를 해석하는 연습을 하세요.

평면좌표와 직선의방정식에서는 거리 공식이 여러 목적에 쓰입니다. 3번은 한 직선 위에 있다는 조건을 방정식으로, 7번은 높이를 거리로, 10번은 삼각형의 성질을 변의 길이 조건으로 바꿉니다. 단원별 공식을 따로 외우는 데서 멈추지 말고 어떤 상황에서 호출하는지 설명해 보세요.

문항 수가 적은 단원도 후반 풀이에 영향을 줍니다. 여러가지방정식의 16번은 치환 전후 실근 조건을 연결해야 하고, 이차함수의 20번은 원의 중심이 움직이는 자취를 다룹니다. 부등식은 해의 범위뿐 아니라 해가 존재하지 않는 조건까지 구별해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답형 증가와 원 단원 집중

작년과 올해 모두 수학(상)으로 총 문항 수는 같지만, 서술·단답형은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 5문항으로 줄고 보통은 7문항에서 10문항으로 늘었습니다. 어려움 문항의 감소만으로 풀이 부담 전체가 줄었다고 단정하기는 어렵습니다.

작년에는 여러가지부등식이 6문항으로 가장 많았고 원의방정식은 4문항이었습니다. 올해는 여러가지부등식이 2문항, 원의방정식이 7문항입니다. 평면좌표도 2문항에서 4문항으로 늘어, 이번 자료를 준비할 때는 거리와 접선의 기하적 해석에 더 비중을 둘 필요가 있습니다.

작년 어려움은 9·12·14·16·17·19·20번에 있었고, 올해는 12·15·16·17·20번에 있습니다. 올해 서술·단답형은 13번부터 시작하므로 후반 전체를 훑어 기본형을 먼저 찾으세요. 다음 시험 대비에서는 부등식의 조건 판단을 유지하면서 원과 직선의 연결 문제를 보강하는 순서를 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 단계의 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정된 순위는 아닙니다. 공통적으로 보조 대상이나 치환을 먼저 정한 뒤 원래 조건으로 돌아와야 합니다. 식을 세우기 전 작은 그림이나 근의 배열을 작성하는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 공식 적용이 바로 보이는 문제부터 해결하세요. 12번의 도형 구조가 보이지 않으면 표시하고 서술·단답형의 13·18번을 확인하는 방식이 좋습니다. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 배분보다, 연습에서 조건 해석에 걸린 시간과 계산 시간을 구별해 기록하세요.

후반에서는 풀이의 첫 관계를 짧게 남겨 두세요. 16번은 치환된 근의 양수 조건, 17번은 중심이 놓이는 직선들, 20번은 반지름을 나타내는 거리 관계를 먼저 적으면 다시 돌아왔을 때 흐름을 회복하기 쉽습니다. 15번은 제공 해설에 조건 불일치가 있으므로 반복 계산하기 전에 원문 확인을 우선하세요.

검토할 때는 계산 전체를 되풀이하기보다 조건을 대조하세요. 5번의 절댓값에 따른 위치, 7번의 정의역 끝점, 10번의 사분면, 14번의 자연수와 등호 성립 조건, 19번의 경계 포함 여부를 점검하세요. 원과 직선 문제에서는 수선의 발과 접점을 구별하고 길이가 양수인지 확인하는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 내분·외분과 점과 직선 사이 거리 공식을 복습하세요. 공식의 각 기호가 그림에서 무엇을 나타내는지 말로 설명해 보세요(1·2·4·18번 대비).
2. 길이 조건을 좌표식으로 바꾸는 연습을 하세요. 절댓값의 경우와 사분면 조건, 거리 합의 등호 조건을 따로 적으세요(3·5·10·14번 대비).
3. 접선·현·각의 이등분선을 묶어 도형을 그리세요. 중심과 수선의 발을 표시한 뒤 필요한 직각삼각형을 찾으세요(9·11·12번 대비).
4. 방정식은 주어진 근의 대입과 치환을 연습하세요. 후보를 구한 뒤 부호·양수성·서로 다른 근 조건을 검사하세요(6·16번 대비).
5. 이차식의 최댓값·최솟값과 부등식의 해를 연결하세요. 정의역과 꼭짓점, 경계 포함 여부를 그림으로 확인하세요(7·13·19번 대비).
6. 도형 조건을 대수식으로 옮기는 종합 연습을 하세요. 길이와 넓이의 관계에서 시작해 중심 결정과 자취로 확장하고, 조건의 실현 가능성도 점검하세요(8·15·17·20번 대비).