화홍고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

화홍고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 회차의 확인된 출제 단원은 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식입니다. 좌표와 도형을 다루는 문항 사이에 방정식·부등식 조건을 해석하는 문항이 함께 배치됐습니다.

초반에는 원의 표준형, 두 점 사이의 거리, 무게중심과 내분점처럼 기본 공식을 바로 적용하는 문제가 이어집니다. 중반부터는 수직과 접선 조건을 함께 쓰거나 움직이는 점 사이의 거리를 최소화하는 등, 주어진 상황을 알맞은 식으로 만드는 과정이 필요합니다.

후반은 계산에 앞서 풀이 구조를 정해야 하는 구간입니다. 자동 분류 기준 어려움인 14~21번에는 도형의 닮음, 매개변수가 있는 원, 해가 없는 연립부등식, 모든 점에서 성립하는 부등식이 등장합니다. 공식을 기억하는 데서 나아가 적용 조건을 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 어려움 구간

1~8번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 거리 공식, 좌표의 평균과 내분, 기울기, 대입으로 푸는 연립방정식이 중심입니다. 계산량보다 좌표의 부호와 내분비의 대응을 정확하게 처리하는 것이 중요하므로, 기본 문항에서도 식을 쓰는 순서를 일정하게 유지하세요.

9~13번은 보통 구간입니다. 접선 조건을 중심과 직선 사이의 거리로 바꾸는 9·11번, 항상 성립하는 조건을 판별식으로 해석하는 12번, 거리의 제곱을 최소화하는 13번이 연결됩니다. 이 구간을 정확히 풀 수 있어야 후반 문제의 출발식도 안정적으로 세울 수 있습니다.

14번부터 끝까지는 어려움으로 분류됐습니다. 다만 같은 분류라도 요구하는 사고는 다릅니다. 도형의 보조 관계를 찾는 문항과 경우를 나누는 문항을 구별하고, 자신이 먼저 구조를 잡을 수 있는 문항부터 접근하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 원의방정식 중심의 좌표 해석

원의방정식은 기본형 확인부터 접선, 매개변수, 현의 길이, 접하는 원의 결정까지 폭이 넓습니다. 특히 15·17·18·20번은 어려움으로 분류돼 있습니다. 중심과 반지름을 읽는 연습에서 멈추지 말고, 중심이 놓일 자취와 접선까지의 거리를 함께 식으로 만드는 연습이 필요합니다.

평면좌표는 2·5·6번의 기본 계산과 13·14번의 활용으로 나뉩니다. 직선의방정식도 거리 공식과 기울기를 확인한 뒤 19번의 위치 관계 분류로 확장됩니다. 단원 이름이 같아도 후반에서는 도형의 조건을 연결하는 단계가 추가된다는 점을 염두에 두세요.

여러가지부등식은 연립일차부등식의 공통부분에서 출발해 항상 성립하는 조건과 해가 없는 조건으로 이어집니다. 12·16·21번을 묶어 공부하면 판별식, 수직선, 최고차항의 부호 중 무엇을 먼저 확인해야 하는지 비교할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 구성은 같고 후반 부담은 증가

작년과 올해는 모두 수학(상)이며 총 21문항, 서술·단답형 3문항으로 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 4문항에서 올해 8문항으로 늘었습니다. 작년에는 9·17·18·21번이 어려움이었고, 올해는 14~21번이 연속으로 해당해 시험 후반의 부담이 더 길게 이어집니다.

원의방정식은 두 해 모두 7문항으로 가장 많았습니다. 평면좌표는 작년 3문항에서 올해 5문항으로 늘었고, 여러가지부등식과 직선의방정식은 각각 작년 5문항에서 올해 4문항으로 줄었습니다. 여러가지방정식은 두 해 모두 1문항입니다. 원 단원의 비중을 유지하면서 좌표 활용의 비중이 커진 구성입니다.

작년 서술·단답형에서는 19·20번이 쉬움, 21번이 어려움이었지만 올해는 19~21번 모두 어려움입니다. 같은 문항 수라는 이유로 답안 작성 부담도 같다고 예상하기는 어렵습니다. 다음 시험 준비에서는 원의 조건 결합과 좌표 활용을 연습하고, 경우 분류와 성립 근거를 글로 남기는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 어떤 표현으로 바꿀지 결정하는 데 사고가 필요하다는 공통점이 있습니다. 수직선, 현의 중점이 드러나는 그림, 한 변수의 이차식처럼 판단에 유리한 형태로 바꾼 뒤 계산하세요. 자동 분류와 문항 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~8번의 기본 문항을 정확하게 처리하고 9~13번의 조건 변환을 점검하세요. 초반에 계산을 모두 암산으로 끝내기보다 부호와 분모가 보이도록 짧은 식을 남기는 편이 재검토에 도움이 됩니다. 절약한 시간은 후반의 그림 해석과 경우 분류에 쓰는 것이 좋습니다.

14~18번 객관식에서 풀이 방향이 보이지 않는 문항은 표시하고, 19~21번의 요구 조건도 먼저 살펴보세요. 서술·단답형에 쓸 시간을 별도로 남겨 두고, 위치 관계나 거리 조건처럼 바로 적을 수 있는 근거부터 정리하세요. 실제 제한 시간은 자료에 없으므로 연습할 때 자신의 소요 시간을 기록하며 순서를 조정하세요.

검토에서는 9번의 양수 조건, 13번의 시간 범위, 16번의 열린 구간과 닫힌 구간, 18번의 양의 기울기 조건을 확인하세요. 19번은 평행 외에 한 점에서 만나는 경우가 빠지지 않았는지, 20번은 구한 원이 두 직선에 모두 접하는지, 21번은 모든 점에 대해 성립하는 근거가 있는지를 되짚어야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 좌표 계산을 먼저 정리하세요. 거리, 무게중심, 내분점을 같은 풀이 순서로 계산하고 좌표축 위 조건을 확인합니다(2·5·6번 대비).
2. 직선의 기울기와 거리 공식을 연결하세요. 평행·수직 조건을 식으로 바꾸고, 삼각형이 만들어지지 않는 경우를 구분해 적습니다(4·7·10·19번 대비).
3. 원의 표준형에서 접선으로 확장하세요. 중심과 반지름을 읽고 접선의 존재와 중심에서의 거리를 점검합니다(1·9·11번 대비).
4. 도형의 보조 관계를 찾는 연습을 하세요. 거리의 제곱, 닮음, 현의 중점과 수선을 이용해 구하려는 양을 단순화합니다(13·14·18번 대비).
5. 매개변수가 있는 원의 조건을 묶어 보세요. 고정점을 지나는 조건, 중심의 자취, 직선에 접하는 조건을 각각 식으로 세워 연결합니다(15·17·20번 대비).
6. 부등식은 해집합과 항상 성립 조건을 구별해 복습하세요. 수직선의 공통부분, 경계의 포함 여부, 최고차항의 부호와 판별식을 확인하고 그 이유까지 서술합니다(3·12·16·21번 대비).