목동고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

목동고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

목동고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 해석부터 좌표평면에서 도형의 위치 관계를 다루는 내용까지 연결됩니다.

원의방정식에서는 접선 공식을 쓰는 기본형에 더해 평행한 접선, 수선의 발, 매개변수에 따른 자취가 등장합니다. 같은 단원이어도 중심을 먼저 구할지, 직각 관계를 이용할지, 점의 이동 범위를 볼지 판단해야 합니다. 식을 길게 전개하기 전에 그림에서 고정되는 관계를 찾는 연습이 필요합니다.

객관식과 서술·단답형이 번호상 완전히 나뉘지 않는다는 점도 살펴보세요. 뒤쪽의 19번은 객관식이고 20번은 자동 분류 기준 보통입니다. 앞에서 어려운 문항에 막혔더라도 남은 문제를 훑어 접근 가능한 유형을 찾아야 합니다.

난이도 분포 — 중반에 이어지는 조건 해석 문항

쉬움으로 분류된 1·2번은 접선과 점·직선 사이의 거리 공식을 적용하는 문항입니다. 초반의 3·4번에서도 인수분해에 따른 경우 나누기와 계수의 부호 판단이 필요합니다. 기본형에서는 계산을 짧게 마무리하되, 부등호 방향이나 해의 중복 같은 확인 절차를 생략하지 마세요.

5번의 정수해 개수 조건을 지나면 6·7번은 보통으로 돌아오지만, 8~13번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 사차방정식의 공통근, 접선의 기하 관계, 도형의 중심과 내분점 등 서로 다른 출발점을 골라야 하므로 한 가지 풀이 방식에만 익숙하면 시간이 늘어날 수 있습니다.

후반의 14·16·20번은 보통이며, 15·17·18·19번은 어려움입니다. 이는 자동 분류 기준으로 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다. 다만 후반에도 확보할 문항이 있으므로 중반의 긴 풀이에 시간을 모두 쓰지 않는 운영이 유리합니다.

출제 단원 — 원의방정식과 좌표 도형의 연결

가장 많은 원의방정식은 접점에서의 접선만 준비해서는 충분하지 않습니다. 9번은 평행한 접선과 지름의 관계, 10번은 원 위 점을 직선에 정사영한 범위, 15번은 지름에 대한 원주각을 활용합니다. 공식을 적용할 대상을 찾는 기하적 해석이 단원 학습의 중심이 되어야 합니다.

여러가지부등식은 해의 구간, 정수해의 개수, 절댓값의 거리 해석을 다룹니다. 14번처럼 도형의 닮음에서 부등식을 세우는 연결도 있습니다. 방정식에서는 인수분해한 식의 근을 따로 살핀 뒤 중복 여부를 점검하고, 허근은 켤레근과 거듭제곱 관계로 정리하는 연습이 필요합니다.

평면좌표와 직선의방정식도 계산 공식만으로 분리해 공부하기 어렵습니다. 11번은 기울기로 직각을 찾아 원의 지름과 연결하고, 12·13번은 삼각형의 성질을 확인한 뒤 좌표를 활용합니다. 20번은 내분을 넓이의 비로 바꾸므로 같은 높이를 갖는 삼각형을 찾아보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원 중심에서 좌표 도형으로 넓어진 구성

작년과 올해 모두 수학(상) 자료입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 늘었지만 전체 문항 수도 늘어, 어려움의 비중은 오히려 낮아졌습니다. 따라서 개수 증가만으로 올해 시험이 더 어려웠다고 단정할 수 없습니다. 서술·단답형이 늘어난 점은 풀이 근거를 정리하는 연습의 필요성과 연결됩니다.

원의방정식은 작년에도 가장 많았으나 올해는 문항 수가 줄었습니다. 여러가지부등식과 여러가지방정식의 문항 수는 같고, 직선의방정식은 늘었으며 올해 분류에는 평면좌표가 포함됩니다. 원의 기본 성질을 중심에 두면서 직선·내분·넓이의 관계까지 함께 복습하는 편이 좋습니다.

작년의 어려움은 5·7번과 9~14번, 16·17번에 있었고, 올해는 5번과 8~13번, 15·17·18·19번에 있습니다. 모두 중반 이후에 어려움이 이어지지만 끝까지 같은 난도로 이어지지는 않습니다. 다음 시험 대비에서는 실제 번호 순서로 풀어 본 뒤 막힌 문항을 넘기고 돌아오는 연습도 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 것이 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 후보를 얻은 뒤에도 존재 조건이나 중복 여부를 검토해야 한다는 점입니다. 식을 세운 근거와 후보를 걸러 내는 근거를 분리해 기록하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 접선과 거리 공식이 바로 보이는 1·2번, 인수분해나 절댓값 구간 나누기로 시작할 수 있는 문항을 먼저 마무리하세요. 8~13번에서 풀이가 길어지면 표시하고 뒤쪽의 14·16·20번도 확인하세요. 전체를 훑는 연습을 통해 자신에게 계산 부담이 적은 유형을 파악하는 것이 좋습니다.

서술·단답형은 계산 전에 핵심 관계를 적어 두세요. 16번은 고정점과 중심의 자취를 구별하고, 17번은 허근이 만족하는 관계를 먼저 정리해야 합니다. 18번은 거리 조건과 원의 조건을 연결하며, 20번은 같은 높이를 갖는 삼각형을 표시하면 넓이 계산의 방향을 잡기 쉽습니다.

검토할 때는 처음부터 재계산하기보다 조건 누락을 찾으세요. 4·14번은 나누는 식의 부호, 5번은 구간 끝의 포함 여부, 8·15번은 근의 중복이 중요합니다. 18번의 높이는 절댓값으로 다루고, 19번은 원점의 예외, 20번은 내분비의 방향과 자연수 조건을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선, 평행선 사이 거리, 수직 조건을 먼저 복습하세요. 공식마다 적용하는 점과 직선을 표시하며 기본 계산을 안정시키세요(1·2·7번 대비).
2. 이차부등식의 해 구간을 수직선에 나타내세요. 계수의 부호, 정수해 개수, 절댓값 구간과 끝점 포함 여부를 함께 연습하세요(4·5·6·14번 대비).
3. 인수분해 뒤 근을 검토하는 절차를 익히세요. 실근의 존재와 공통근을 구별하고 허근의 켤레 관계와 거듭제곱을 정리하세요(3·8·17번 대비).
4. 접선과 지름, 수선의 발, 중심의 자취를 그림에 표시하세요. 움직이는 대상과 고정되는 대상을 구분한 뒤 식을 세워 보세요(9·10·16·18번 대비).
5. 삼각형의 모양을 확인한 뒤 좌표를 활용하세요. 무게중심·각의 이등분선·내분점과 같은 높이의 넓이비를 연결하세요(11·12·13·20번 대비).
6. 추가 교점과 점의 존재 조건을 연습하세요. 조건을 거리나 직각 관계로 바꾼 뒤 예외와 경계까지 점검하는 풀이를 작성하세요(15·19번 대비).