영동고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

영동고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 복소수, 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 이차함수입니다. 방정식과 부등식의 조건 해석에 좌표도형의 거리 관계가 결합된 시험입니다.

원에서는 중심과 반지름을 구하는 기본형부터 접선, 수직이등분선, 곡선과의 교점 조건까지 이어집니다. 거리의 대상을 구별하고 식을 완전제곱식으로 정리한 뒤 작은 그림으로 풀이 방향을 잡으세요.

대수 문항도 인수분해만으로 끝나지 않습니다. 서로 다른 실근의 개수, 변환된 방정식의 근의 합, 정수해의 개수처럼 계산 결과를 해석하는 단계가 있습니다. 각 조건이 어떤 후보를 남기거나 제외하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반의 혼합 배치와 후반의 연속된 어려움

쉬움은 1·7번이고 보통은 2·5·8·9·10번입니다. 3·4·6번이 어려움으로 분류되어 있으므로 번호가 앞선다는 이유만으로 짧은 풀이를 기대하기는 어렵습니다. 초반에 막혔을 때 다음 문항의 구조를 확인하면 거리 공식이나 인수분해로 접근할 수 있는 문제를 찾을 수 있습니다.

11~19번은 객관식 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 근의 변환, 좌표의 부호, 접선의 도형 관계, 정수해의 경계 처리가 번갈아 나옵니다. 한 가지 계산 방법을 반복하기보다 문항마다 조건을 어떤 형태로 옮길지 판단해야 하는 부담이 있습니다.

20~23번도 자동 분류 기준 어려움입니다. 서술·단답형에서는 식을 세운 이유와 경우를 나눈 기준을 남겨 두세요. 실제 체감 난도를 확정할 수는 없지만, 여러 풀이 단계를 연결하는 연습은 필요합니다.

출제 단원 — 원의방정식을 중심으로 한 거리와 조건 해석

원의방정식은 1·2·6·8·13·14·19·22번에 분포합니다. 지름과 중심을 읽는 기초에서 출발해 접선 사이의 거리, 원과 직선의 위치 관계, 곡선 위의 지름 끝점으로 확장됩니다. 접한다는 조건은 중심에서 직선까지의 거리로, 같은 거리는 수직이등분선으로 바꾸어 보세요.

여러가지방정식의 9·10·11·18·20번은 근의 성질과 인수분해를 중심으로 연결됩니다. 특히 중근과 서로 다른 근을 구별해야 합니다. 여러가지부등식의 4·5·16번은 항상 성립하는 조건과 특정 개수의 정수해를 갖는 조건을 구분해서 연습해야 합니다.

평면좌표의 12·15·17·21번은 모두 어려움으로 분류됩니다. 부등식에서 얻은 계수 관계를 좌표로 옮기거나, 거리식을 도형으로 해석하거나, 무게중심과 내분점을 활용합니다. 이차함수의 23번도 방정식의 공통된 근 구조를 함께 사용하므로 단원 이름만 보고 풀이법을 제한하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수보다 구성과 배치 변화에 주목

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 24문항에서 23문항으로 줄었지만 서술·단답은 1문항에서 4문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 17문항에서 16문항으로 줄었으나, 그 수만으로 풀이 부담이 낮아졌다고 판단하기는 어렵습니다.

원의방정식은 7문항에서 8문항으로 늘어 가장 많은 단원을 유지했습니다. 여러가지방정식은 5문항, 여러가지부등식은 3문항으로 같고 평면좌표는 5문항에서 4문항, 직선의방정식은 4문항에서 1문항으로 줄었습니다. 올해 자료에는 복소수와 이차함수도 포함됩니다.

작년 어려움은 6번부터 나타났고 올해는 3번부터 나타납니다. 올해는 11~23번이 연속으로 어려움에 해당하므로 초반 기본형을 확보한 뒤 서술·단답형까지 살필 시간을 남기는 연습이 필요합니다. 원과 좌표도형을 중심으로 준비하면서 근의 중복과 정수해의 경계도 함께 복습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식의 의미를 다른 표현으로 바꾸고 그 표현이 성립하는 조건을 검증해야 한다는 것입니다. 풀이 첫 줄에 변환한 조건을 적고 마지막 줄에서 원래 조건과 다시 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번처럼 거리의 기본 구조를 확인하고, 3·4·6번에서 오래 멈추면 표시한 뒤 7~10번의 접근 가능성을 살펴보세요. 뒤로 갈수록 어렵다는 가정으로 모든 문항을 순서대로 붙잡기보다, 전체를 훑으며 풀이 출발점이 보이는 문항을 확보하는 편이 좋습니다.

객관식 후반을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 처음 읽는 방식은 피하세요. 20번의 인수분해와 21번의 거리 합·차처럼 시작 관계가 분명한 문항부터 식을 남겨 두세요. 연습에서는 조건 해석과 계산 시간을 구별해 기록하고, 막힌 이유에 맞춰 복습하세요.

마지막 검토에서는 4번의 엄격한 부등호, 5번의 제외 조건, 10·18번의 근 중복, 16번의 정수 경계를 우선 확인하세요. 도형에서는 13번의 점의 위치, 15번의 등호 성립, 21번의 내분비 대응, 22번의 직선 예외를 살펴보세요. 새 계산을 시작하기보다 이미 얻은 후보가 조건에 맞는지 확인하는 시간도 남겨야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리 공식과 완전제곱식을 먼저 정리하세요. 원의 중심·반지름과 점에서 직선까지의 거리를 구별하고 교차 여부를 짧게 그려 보세요(1·2·7·8번 대비).
2. 원과 접선은 중심에서 직선까지의 거리로 연결하세요. 평행한 접선, 수선, 수직이등분선으로 조건을 바꾸는 연습을 하세요(6·13·14·19번 대비).
3. 인수분해와 켤레근, 근과 계수의 관계를 묶어 복습하세요. 근의 변환과 중복 여부를 표로 정리하며 거듭제곱의 주기도 확인하세요(3·9·10·11·18·20번 대비).
4. 부등식에서는 항상 성립하는 조건과 정수해 개수 조건을 구별하세요. 절댓값의 구간, 매개변수의 부호, 끝점 포함 여부를 직접 수직선에 표시하세요(4·5·16번 대비).
5. 좌표도형은 내분·외분·무게중심을 거리 관계와 함께 연습하세요. 이차식을 거리로 읽는 최솟값 유형에서는 등호가 실제로 가능한지 설명하세요(12·15·17·21번 대비).
6. 복합 조건은 한 줄씩 연결하는 연습으로 마무리하세요. 지름의 중점과 근의 합·곱을 연결하고, 공통된 근 조건을 식의 관계와 판별식으로 바꾸세요(22·23번 대비).