상명대학교사범대학부속여자고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

상명대학교사범대학부속여자고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

상명대학교사범대학부속여자고등학교는 서울 종로구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 기본 처리에서 좌표평면 위 도형의 관계로 이어지는 구성입니다.

초반에는 부등식의 해, 두 점 사이의 거리, 평행한 직선, 내분점과 원의 중심처럼 익숙한 기본형이 나옵니다. 하지만 같은 단원이 뒤에서 다시 나오면 여러 조건을 연결해야 합니다. 내분·외분은 원과 넓이 문제의 출발점이 되고, 점과 직선 사이의 거리는 접선 문제의 핵심 도구가 됩니다.

모두 객관식이지만 식을 세우는 근거를 생략해도 되는 시험은 아닙니다. 후반에서는 그림에서 어떤 선분이 중선인지, 어떤 각이 직각인지 알아야 계산이 짧아집니다. 풀이를 연습할 때 공식 이름만 적기보다 그 공식을 쓸 수 있는 조건을 짧게 설명해 보세요.

난이도 분포 — 기본형 사이의 어려움과 후반 집중

쉬움 문항은 초반에 많지만 12·17·19번에도 있습니다. 10번이나 14~16번에서 풀이가 막히더라도 이후 문항을 확인할 필요가 있습니다. 특히 17번은 삼각형의 형태를 알아보면 외심 계산을 줄일 수 있고, 19번은 그래프와 판별식을 연결하면 접근할 수 있습니다.

보통 문항은 절댓값의 구간 분류, 연립방정식의 경우 분리, 접선의 선택, 교점과 절편의 연결을 다룹니다. 어려움 문항을 풀기 위한 중간 단계이므로 풀이가 맞았는지뿐 아니라 경우와 부호를 빠짐없이 처리했는지 확인하세요.

20~24번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 자취의 범위, 중선의 관계, 접선의 수직성, 고정된 밑변에서의 높이처럼 해석할 조건이 이어집니다. 난이도 표는 자동 분류 결과이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 평면좌표와 원의방정식의 연결

평면좌표는 거리와 내분·외분에서 출발해 같은 거리에 있는 점, 무게중심, 자취로 확장됩니다. 좌표를 구하는 공식과 도형의 성질이 함께 쓰입니다. 계산 결과가 선분 내부인지 외부인지, 움직이는 점이 직선 전체를 그리는지 일부만 그리는지 구별해야 합니다.

원의방정식은 중심과 반지름의 확인에서 원과 직선의 위치 관계, 접선, 넓이로 이어집니다. 22·23번에서는 접점과 중심을 연결해 직각삼각형을 찾는 것이 중요합니다. 24번은 원의 방정식을 전개하기 전에 밑변이 고정되어 있다는 사실을 이용하는 편이 효율적입니다.

여러가지방정식에서는 공통부분 치환과 연립방정식뿐 아니라 켤레근과 허근의 성질을 확인합니다. 부등식에서는 해의 범위와 경계 포함 여부가 중요하고, 직선에서는 기울기를 정한 뒤 거리나 절편 조건을 붙이는 순서를 익혀야 합니다. 단원별로 따로 외운 공식을 연결해 쓰는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 문항 구성과 어려움 비율

같은 2022학년도 1학년 1학기 기말고사 수학(상)을 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 이 시험은 지역 평균 문항 수 21.8개보다 많습니다. 지역 평균 서술·단답은 4.2문항이지만 이 시험에는 없습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 반올림해 38%로, 지역 평균 23%보다 높고 11개교 중 2위입니다.

원의방정식이 가장 많은 학교가 있는 한편 직선의방정식, 여러가지방정식, 이차함수, 순열조합이 중심인 학교도 있습니다. 이 시험은 평면좌표와 원의방정식이 함께 가장 많다는 점을 학습에 반영해야 합니다. 객관식 구성에 맞추어 선택까지의 속도를 기르되, 내분·외분에서 접선과 넓이로 연결되는 풀이를 충분히 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정해진 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산을 시작하기 전에 도형의 관계를 재구성해야 한다는 것입니다. 중점, 수선, 고정된 밑변을 먼저 표시하고 최종적으로 필요한 길이나 비를 역으로 짚어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 먼저 확보하세요. 10번에서 절편 후보를 정리하는 데 오래 걸리면 표시하고 뒤로 이동하며, 14~16번에서 막혀도 17~19번을 확인하세요. 마지막 구간에 어려움 문항이 이어지므로 앞에서 같은 계산을 반복하는 시간을 줄이는 것이 중요합니다.

계산 전에는 후보를 만드는 조건과 후보를 고르는 조건을 구분하세요. 10번은 수직과 거리 조건 이후 지나는 점을, 13번은 접선 조건 이후 사분면을 확인해야 합니다. 20번에서는 점이 움직이는 범위와 연장한 직선의 차이를, 24번에서는 최댓값 후보의 좌표 부호를 마지막까지 유지하세요.

검토 시간에는 경계와 순서를 우선 확인하세요. 7·12번은 정수 개수와 끝점 포함 여부, 19번은 축에 접하는 경우가 중요합니다. 8·16·24번은 내분과 외분의 끝점 순서를 점검하고, 21번은 중선이 속한 삼각형을 다시 보세요. 전부 재계산하기보다 실수가 생기기 쉬운 단계에 검토를 집중하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 해를 수직선과 그래프로 표현하세요. 교집합, 경계 포함 여부, 정수 개수를 차례로 확인하세요(1·2·7·19번 대비).
2. 방정식은 전개 전에 공통부분과 인수를 찾으세요. 연립방정식에서 경우를 빠짐없이 나누고 목표로 하는 식만 계산해 보세요(5·6·11번 대비).
3. 켤레근과 근과 계수의 관계를 복습하세요. 허근을 직접 대입하기 전에 그 근이 만족하는 관계로 차수를 낮추세요(14·15번 대비).
4. 거리, 중점, 내분·외분을 그림과 함께 연습하세요. 같은 거리 조건과 직각삼각형의 판정까지 이어 보세요(3·8·16·17번 대비).
5. 기울기로 직선을 정한 뒤 거리와 절편을 구하는 순서를 익히세요. 원과 직선의 교점 및 접선 조건도 같은 거리 도구로 연결하세요(4·10·12·13·18번 대비).
6. 무게중심의 좌표와 중선의 기하적 성질을 각각 정리하세요. 자취에서는 매개변수의 범위를 남기고 복합 도형에서는 삼각형을 구별하세요(20·21번 대비).
7. 원 문제에서는 중심과 접점을 먼저 연결하세요. 접선의 수직성, 닮음, 밑변이 고정된 넓이의 최댓값을 묶어서 연습하세요(9·22·23·24번 대비).