정신여자고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

정신여자고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

정신여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 이차함수, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 대수 계산을 좌표평면의 거리·접선·넓이 해석과 함께 준비해야 하는 시험입니다.

앞부분에서는 수직 조건, 연립부등식, 중점과 외분점처럼 기본 개념을 확인합니다. 이후에는 직사각형의 성질이나 닮음으로 좌표를 정하고, 움직이는 직선의 정점으로 거리의 최댓값을 해석합니다. 공식을 외우는 데서 나아가 도형의 조건에 맞는 공식을 선택하는 연습이 필요합니다.

후반에는 원의 위치 관계와 정수 조건이 풀이를 길게 만듭니다. 접하는 원의 후보를 구해도 다른 직선과의 관계까지 검사해야 하며, 정수근을 찾은 뒤에는 계수의 범위를 다시 적용해야 합니다. 계산 결과 옆에 그 결과가 유효한 조건을 남기는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본형 이후에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 구간인 1~3번에서는 기울기, 부등식의 공통부분, 좌표와 거리의 기본 계산을 확인합니다. 풀이가 짧더라도 외분점의 부호나 부등호의 등호 포함 여부를 놓치면 실수할 수 있습니다. 기본형을 빠르게 처리하면서도 검토할 항목은 일정하게 유지하세요.

보통 구간인 4~10번은 절댓값 그래프, 인수분해, 근과 계수의 관계, 도형의 성질을 활용합니다. 특히 8번은 원의 존재와 중심의 위치를 함께 확인하고, 10번은 직선의 정점을 먼저 찾는 것이 효율적입니다. 식을 길게 전개하기 전에 사용할 구조를 파악해 보세요.

11~13번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 연속됩니다. 서술·단답형에는 보통인 14·17번도 있으므로 객관식 후반에 오래 머물며 뒤쪽을 모두 미루지 않도록 하세요. 이 분류가 응시자의 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 복습 순서를 정하는 기준으로 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 원과 직선의 관계를 중심으로

원의방정식은 원이 되는 조건부터 공통현, 접선, 원 위의 점과 직선 사이의 거리까지 폭넓게 다룹니다. 중심과 반지름을 읽는 기본 과정에 위치 관계를 덧붙여야 합니다. 12번의 공통현과 18번의 넓이 최대 문제는 그림을 거리 관계로 바꾸면 계산의 방향이 분명해집니다.

직선의방정식에서는 수직·평행 관계와 도형의 성질을 연결합니다. 7번은 직사각형의 대각선, 9번은 닮음과 넓이비, 10번은 정점을 지나는 직선을 활용합니다. 원 단원을 공부하기 전 직선의 기울기와 점과 직선 사이의 거리를 확실히 다져 두는 편이 좋습니다.

대수 영역은 방정식과 부등식을 묶어 복습하세요. 6·16번의 근과 계수의 관계는 각각 거듭제곱의 합과 정수근의 경우 분류로 이어집니다. 15번은 정수해 개수, 17번은 실근의 존재 조건을 다루므로, 계산한 해와 그 해가 존재하기 위한 조건을 구별하는 것이 중요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원 중심 구성에서 대수 영역의 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었습니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 줄었다고 판단하기보다는, 각 문항에서 조건을 해석하고 후보를 검토하는 단계를 살펴보는 것이 적절합니다.

원의방정식은 작년에도 가장 많았으나 올해는 그 비중이 낮아졌습니다. 여러가지방정식은 작년 2문항에서 올해 4문항으로, 여러가지부등식은 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 평면좌표는 4문항에서 2문항으로 줄었지만 마지막 문항에서 거리 조건을 복합적으로 다루므로 기본 좌표 공식을 소홀히 해서는 안 됩니다.

작년의 어려움 문항은 12·15·16·17·20번이고, 올해는 11·12·13·15·16·18·19번입니다. 올해는 객관식 끝부분에도 어려움 문항이 이어집니다. 다음 시험을 준비할 때 원과 직선의 거리 관계를 중심에 두되, 정수근과 정수해 개수처럼 대수 영역에서 경우를 제한하는 유형도 함께 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 후보를 얻은 뒤 추가 조건으로 걸러 내야 합니다. 풀이를 복습할 때는 계산 줄보다 경우를 나눈 기준과 제외한 이유를 먼저 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~10번의 기본 구조를 확인하면서 계산을 진행하세요. 11~13번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 서술·단답형의 14·17번도 살펴보세요. 문제 순서대로 끝까지 풀겠다는 방식보다 전체에서 접근 가능한 문항을 확보하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형에서는 풀이의 출발 조건을 짧게 남기세요. 15번은 정수해가 놓이는 구간과 고립된 해, 16번은 정수근 후보와 계수 조건을 구분해 적는 편이 좋습니다. 18번은 넓이를 높이로 바꾼 이유를 먼저 정리하면 좌표 계산 중 방향을 잃는 일을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 경계와 부호를 우선 확인하세요. 8번의 반지름 조건, 11번의 엄격한 부등호, 15번의 정수해가 추가되는 끝점이 중요합니다. 19번에서는 연장선 조건으로 선분 내부를 제외했는지 확인하고, 13번에서는 다른 직선과의 교점이 생기는지 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기울기와 수직·평행 관계, 중점·외분점 공식을 복습하세요. 좌표 계산 뒤 간단한 그림으로 위치가 맞는지 확인하세요(1·3·7번 대비).
2. 연립부등식과 절댓값의 구간 분류를 연습하세요. 해 구간을 수직선으로 표시한 뒤 고립된 해와 끝점을 점검하세요(2·4·15·19번 대비).
3. 인수분해와 근과 계수의 관계를 연결하세요. 거듭제곱의 차수 낮추기에서 실근 조건과 정수근 후보 분류로 확장하세요(5·6·16·17번 대비).
4. 직선과 도형의 성질을 묶어 연습하세요. 넓이비를 길이비로 바꾸고 정점을 지나는 직선의 거리 최대를 그림으로 설명하세요(9·10번 대비).
5. 원의 중심과 반지름을 읽은 뒤 접선·공통현·넓이를 거리 관계로 바꾸세요. 얻은 후보가 다른 위치 조건까지 만족하는지 확인하세요(8·12·13·14·18번 대비).
6. 이차함수는 같은 함숫값을 갖는 점에서 축을 찾고 최솟값으로 전체 실수 조건을 해석하세요. 마지막 정수 조건의 경계를 별도로 검토하세요(11번 대비).