신목고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

신목고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

신목고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수의 식과 그래프를 다루는 능력에 더해 조건에 맞는 선택과 배열을 세는 능력을 함께 확인합니다.

앞부분에서는 역함수 구하기, 조합과 곱의 법칙, 그래프의 대칭성처럼 출발점이 비교적 분명한 문제가 나옵니다. 다만 보통으로 분류된 문항에도 구간별 함수의 대입이나 항상 성립하는 부등식이 있어, 익숙한 공식에 숫자만 넣는 방식으로 접근하기는 어렵습니다.

후반부에서는 좌석 배치, 나머지를 이용한 분류, 제한이 있는 공의 분배, 영역 색칠 등 서로 다른 상황을 조건표로 바꾸어야 합니다. 마지막 무리함수 문항은 도형 조건과 그래프 성질을 연결하므로, 순열조합만 집중하고 함수의 조건 해석을 소홀히 하지 않는 준비가 필요합니다.

난이도 분포 — 어려움이 후반부와 서술·단답형에 집중

쉬움에 해당하는 1·3·7·8·9·12번은 앞쪽과 중간에 분산되어 있습니다. 특히 12번은 역함수 식 전체를 구하기보다 대응 관계를 이용해 필요한 입력을 찾으면 풀이를 줄일 수 있습니다. 기본 문항을 확실히 처리하면 뒤의 조건 분석에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다.

보통 문항은 부분분수, 사전식 배열, 일대일대응 조건, 무리함수 교점 등을 다룹니다. 10번은 일부 지점에서 얻은 계수 조건이 구간 전체에서 성립하는지도 확인해야 하고, 17번은 정의역의 겹침만으로 교점이 있다고 결론 내리지 않아야 합니다.

어려움은 15번부터 등장하지만 17번은 보통입니다. 번호순으로 난도가 계속 높아지는 시험으로 생각하지 마세요. 자동 분류 기준의 어려움은 풀이 구조를 점검하는 참고 자료이며, 개인별로 오래 걸리는 유형은 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건 해석

순열조합은 기본 선택 문제부터 좌석의 위치 제한과 영역 사이의 인접 조건까지 폭이 넓습니다. 15·18·19·20·21번이 자동 분류 기준 어려움에 속합니다. 공식을 더 많이 외우기보다 무엇을 먼저 고정하고 어떤 경우를 더할지 설명하는 연습이 필요합니다.

무리함수는 직선과의 위치 관계, 구간 전체의 부등식, 역함수와의 교점, 매개변수 조건으로 이어집니다. 합성함수와역함수에서는 나머지로 정의된 함수의 일대일대응과 유한집합 사이의 대응을 다룹니다. 유리함수에 어려움 문항이 없더라도 식의 변형과 분모 조건은 정확히 처리해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 어려움과 순열조합이 증가

작년과 올해 모두 수학(하)이며, 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 4문항에서 6문항, 어려움은 5문항에서 7문항으로 늘고 보통은 13문항에서 9문항으로 줄었습니다. 따라서 어려움의 증가만 보고 모든 구간이 일률적으로 까다로워졌다고 해석하기보다 기본 문항과 후반 문항을 구분해 준비하는 편이 적절합니다.

순열조합은 8문항에서 10문항, 무리함수는 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 합성함수와역함수는 5문항에서 4문항, 유리함수는 5문항에서 3문항으로 줄었고, 작년에 있던 함수 단원의 별도 분류는 올해 표에 없습니다. 단원 이름만 비교하지 말고 올해 순열조합의 조건 분류와 무리함수의 그래프 해석을 우선 복습하세요.

작년 어려움은 16·18·19·20·22번이었으며, 올해는 15·16·18·19·20·21·22번입니다. 특히 작년 보통으로 분류된 서술·단답형 21번 자리까지 올해는 어려움으로 분류됐습니다. 이는 번호 위치의 변화에 대한 비교이며, 같은 번호의 문제 내용이 같다는 뜻은 아닙니다. 다음 시험 대비에서는 후반 서술·단답형을 끝까지 다루는 모의 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 것이 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산에 들어가기 전 관계를 정리하고, 중간에 얻은 후보를 원래 조건으로 다시 검토해야 합니다. 문제를 풀고 난 뒤에도 어느 조건이 경우를 줄였는지 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 출발점이 보이는 문항부터 해결하고, 15·16번에서 조건 정리가 막히면 표시한 뒤 17번을 확인하세요. 18·19번을 마친 뒤에야 서술·단답형을 처음 읽는 운영은 피하는 편이 좋습니다. 시험 전체 제한 시간은 자료에 없으므로, 연습할 때는 실제 학교에서 안내한 시간에 맞춰 후반 문항에 남기는 시간을 조정하세요.

함수 문항에서는 6번의 구간 조건, 12번의 분모 제한, 13·16번의 일대일대응을 놓치기 쉽습니다. 14·17번에서 제곱이나 치환을 사용했다면 부호 조건과 정의역을 되돌려 확인하세요. 특히 그래프가 만날 수 있는 공통 정의역이 있다는 사실과 실제 교점이 존재한다는 사실은 구분해야 합니다.

경우의 수에서는 15·21번의 좌석 제한을 그림에 표시하고, 18번의 원소 중복과 순서쌍의 순서를 따로 점검하세요. 19번은 바구니별 상한, 20번은 변을 공유하는 인접 조건이 확인 대상입니다. 서술·단답형 연습에서는 결과만 쓰지 말고 경우를 나눈 기준과 각 경우의 계산 근거까지 적는 습관을 들이세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 선택과 합의·곱의 법칙부터 정리하세요. 순서가 필요한지, 포함과 미포함이 전체를 나누는지 설명하며 3·7·9번을 다시 풀어 보세요.
2. 사전식 배열과 짝 선택을 연습하세요. 먼저 정한 선택 뒤에 남은 자유도를 세고, 조건을 정확히 만족하는지 검토하세요(5·11번 대비).
3. 유리식 변형과 역함수의 대응 관계를 복습하세요. 부분분수의 소거와 분모 제한, 일대일대응의 의미를 함께 확인하세요(1·2·6·8·12·13·16번 대비).
4. 무리함수는 정의역과 그래프의 시작점을 먼저 표시하세요. 직선과의 위치 관계, 전 구간의 부등식, 치환 후 범위를 연결해 연습하세요(4·10·14·17번 대비).
5. 조건이 여러 개인 세기 문제를 표로 정리하세요. 좌석 배치, 나머지 분류, 분배의 상하한을 각각 표시하고 중복과 누락을 점검하세요(15·18·19·21번 대비).
6. 색칠의 인접 관계와 도형을 결합한 함수 문제를 마무리하세요. 조건 해석에서 후보 검증까지 과정을 적은 뒤 시간 제한을 두고 재풀이하세요(20·22번 대비).