서울고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

서울고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수의 식만 계산하는 공부로는 범위 안의 다양한 요구를 모두 다루기 어렵습니다.

총 22문항 가운데 객관식은 17문항, 서술·단답형은 5문항입니다. 특히 22번이 객관식이므로 번호만 보고 마지막까지 서술형이라고 생각하지 않아야 합니다. 17번의 점근선 확인부터 20번의 그래프 교점 조건, 21번의 조합 관계 설명까지 형식 안에서도 요구하는 풀이가 다릅니다.

시험의 특징은 익숙한 개념에 다른 표현을 연결한다는 점입니다. 유리함수의 성질이 정수 좌표와 도형 조건으로 이어지고, 무리함수는 내분점의 이동 영역이나 역함수와의 관계로 확장됩니다. 개념 이름을 기억한 뒤 그 성질을 언제 사용할지 판단하는 과정까지 준비해야 합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항인 1~3번은 순열·조합 기호, 무리식 계산, 합성함수 대입을 확인합니다. 같은 쉬움인 17번은 서술·단답형 구간에 있으므로, 앞에서 어려운 문제에 막혔더라도 뒤의 기본 문항을 먼저 확보할 수 있습니다.

보통 구간에서도 풀이의 구조를 잡아야 합니다. 7번은 같은 문자를 구별하지 않는 배열, 10번은 서로 맞바꾸는 대응의 묶음, 12번은 대진표의 분할을 다룹니다. 공식에 숫자를 넣기 전에 무엇을 같은 경우로 볼지 정해야 계산이 안정됩니다.

11번에서 정의역 제한이 교점 개수에 영향을 주고, 13~16번에서는 구간별 함수, 이동 영역, 절댓값과 대칭, 좌석 제약이 이어집니다. 19·20번과 22번도 어려움으로 분류되므로 후반에 시간을 남기는 운영이 필요합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난이도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 순열조합과 유리함수가 중심

순열조합과 유리함수는 각각 6문항입니다. 순열조합은 기호 계산에서 문자 배열, 자연수 구성, 대진표, 좌석 배치, 조합 관계의 설명으로 넓어집니다. 같은 단원이라도 순서의 구별과 중복 제거의 이유를 말할 수 있어야 응용 문항으로 넘어갈 수 있습니다.

유리함수는 점근선과 평행이동을 바탕으로 대칭성, 제한된 구간의 최대·최소, 교점, 정수 좌표까지 연결됩니다. 17번의 기본형을 정리한 뒤 6번의 대칭, 11번의 정의역, 19번의 좌표 조건을 차례로 붙이는 학습이 효과적입니다.

무리함수에서는 근호가 실수가 되는 범위와 그래프의 위치 관계가 함께 중요합니다. 합성함수와역함수는 대입뿐 아니라 대응을 복원하고 구간을 다시 확인하는 능력을 요구합니다. 함수로 분류된 22번은 각 조각의 일대일성과 전체 치역을 함께 살피는 마무리 문항입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확정한 문항이 아니라 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 대상을 먼저 다시 표현해야 한다는 데 있습니다. 좌표를 결합하거나 옮기고, 그래프를 구간별로 나눈 다음 허용 범위를 확인하는 과정을 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번과 17번 같은 기본 개념 문항을 안정적으로 처리하세요. 4~10번에서도 경우를 나눌 기준이나 그래프의 개형이 떠오르지 않으면 표시하고 넘어갈 수 있습니다. 어려운 번호를 반드시 순서대로 해결하려 하기보다 풀이 방향이 분명한 문제를 먼저 완성하는 편이 좋습니다.

13~16번에서 시간을 많이 썼더라도 17~21번을 확인할 여유를 확보해야 합니다. 서술·단답형에서는 식뿐 아니라 정의역을 제외한 이유, 경우가 겹치지 않는 이유를 필요한 만큼 적으세요. 21번은 복잡한 수치 계산보다 조합을 나누는 논리의 설명이 중요하고, 마지막 22번은 별도로 돌아볼 항목입니다.

검토할 때는 조건의 종류를 기준으로 확인하세요. 11·18번은 분모가 사라지는 입력을 제외했는지, 13·20번은 구간에 맞는 해인지, 7·10·12번은 순서를 구별하지 않는 대상을 중복으로 세지 않았는지 살핍니다. 22번은 각 조각에서 일대일이라는 사실과 전체 치역이 빠짐없이 이어진다는 사실을 구분해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 계산과 표현을 정리하세요. 순열·조합 기호, 무리식 통분, 합성함수 대입을 짧은 풀이로 완성한 뒤 점근선 표기를 확인합니다(1·2·3·17번 대비).
2. 유리함수를 평행이동한 형태로 보고 증가·감소와 대칭을 연결하세요. 제한된 구간에서 어느 끝점이 최댓값을 주는지도 함께 판단합니다(4·6·15번 대비).
3. 허용되는 입력을 먼저 적는 습관을 들이세요. 분모가 사라지는 경우, 근호 안의 조건, 구간별 식의 적용 범위를 계산 결과와 대조합니다(11·13·18번 대비).
4. 경우의 수는 선택과 배열을 분리하세요. 같은 문자, 선두 자리 제한, 짝의 순서, 대진표의 묶음을 구별하고 중복 제거의 이유를 설명합니다(7·9·10·12·16번 대비).
5. 그래프와 좌표 조건을 연결하세요. 내분점의 좌표에서 변수를 줄이고, 유리함수의 정수점을 약수 관계로 바꾸며, 이동한 그래프의 교점을 구간별로 확인합니다(14·19·20번 대비).
6. 서술 연습에서는 조합의 경우 분류와 일대일대응의 조건을 말로 완성하세요. 빠진 경우와 겹치는 경우가 없는지, 치역이 공역을 모두 덮는지 설명합니다(21·22번 대비).