신목고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

신목고 1학년 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

신목고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 순열조합, 합성함수와역함수, 유리함수, 절대부등식, 무리함수, 함수입니다. 함수의 그래프와 역함수 성질을 읽는 문제에 경우의 수와 부등식을 활용하는 문제가 더해진 구성입니다.

앞부분의 기본 개념이 뒤의 조건 해석으로 이어집니다. 유리함수에서는 점근선과 평행이동을 이해한 뒤 대칭 조건이나 직선과의 위치 관계를 살펴야 합니다. 경우의 수에서도 순열·조합 기호의 관계를 아는 데서 나아가 배열, 대진표, 색칠 조건에 맞는 셈법을 골라야 합니다.

서술·단답형은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 객관식을 마친 뒤 남은 시간만으로 처리하기보다, 전체 문항을 훑으며 풀이의 출발점이 보이는 문제를 확보하는 편이 좋습니다. 조건을 해석한 근거와 계산 결과가 해당 조건을 만족하는지 확인하는 과정까지 연습하세요.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 후반에 모인 어려움

쉬움 문항은 1·3·11번으로, 유리함수의 기본 성질, 순열과 조합의 관계, 역함수의 변환을 다룹니다. 이 문항들은 풀이를 짧게 정리할 수 있는 기반입니다. 역함수에서 입력 변환을 되돌리는 순서나 순열·조합 기호의 의미를 정확히 익혀 두세요.

보통 문항에도 확인할 조건이 적지 않습니다. 5번은 무리함수와 직선의 교점을 다루면서 제곱 전의 부호 조건을 보존해야 하고, 14번은 색칠할 영역의 인접 관계에 따라 경우를 나누어야 합니다. 공식을 알고 있어도 적용 조건을 놓치면 풀이가 달라질 수 있습니다.

16번에서 어려움이 등장한 뒤 17번은 보통으로 분류되며, 18~22번은 어려움이 이어집니다. 따라서 앞에서 막혔다고 다음 문제까지 미룰 필요는 없습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 범위 해석

순열조합은 가장 큰 비중을 차지하면서 기본형부터 서술·단답형까지 이어집니다. 사전식 배열, 대진표, 이웃하지 않는 배열, 색칠, 조건을 만족하는 함수와 자연수 세기 등 적용 상황이 다양합니다. 먼저 고정할 대상을 정하고, 각 경우가 서로 겹치지 않는지 확인하는 연습이 필요합니다.

함수 관련 단원에서는 정의역과 치역이 반복해서 중요해집니다. 2·12번은 역함수를 구할 때 범위를 바꾸는 과정, 13번은 교점이 정의역 안에 있는지 확인하는 과정이 핵심입니다. 19·22번에서는 구간별 치역이나 제한된 구간의 최솟값·최댓값을 해석해야 하므로 식만 구하고 끝내기 어렵습니다.

절대부등식은 대수 조건뿐 아니라 도형과도 연결됩니다. 9번은 절편으로 넓이를 나타내고, 17번은 닮음을 이용해 길이 관계를 만든 뒤 부등식을 적용합니다. 부등식 공식을 바로 대입하기보다 양수 조건과 등호가 실제로 가능한지를 함께 적어 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 보통의 비중은 증가

작년과 올해는 같은 수학(하) 시험이며 총 문항과 서술·단답형 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 줄었지만 쉬움도 줄고 보통이 늘었습니다. 따라서 어려움 문항 수의 변화만으로 전체 풀이 부담이 크게 낮아졌다고 판단하기보다는, 보통 문항을 정확하게 처리하는 능력이 더 중요해진 구성으로 읽는 편이 좋습니다.

순열조합은 작년 10문항에서 올해 8문항, 무리함수는 5문항에서 2문항으로 줄었습니다. 합성함수와역함수는 4문항, 유리함수는 3문항으로 같습니다. 올해는 절대부등식과 함수 분류의 문항도 있으므로, 작년에 비중이 컸던 단원만 반복하지 말고 부등식 활용과 치역 해석을 보완하세요.

작년의 어려움은 15·16·18·19·20·21·22번, 올해는 16·18·19·20·21·22번입니다. 후반과 서술·단답형에 부담이 모이는 배치는 이어집니다. 다음 시험 대비에서도 앞부분의 기본형 처리와 후반의 경우 분류 연습을 함께 가져가되, 올해 19·22번처럼 구간별 범위를 명시하는 풀이를 충분히 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산 이후에도 범위 검사가 남는다는 것입니다. 후보를 구한 줄과 조건을 확인한 줄을 분리해 쓰는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 익숙한 기본형을 먼저 확보하고 경우 분류가 길어지는 문제에 표시하세요. 16번에서 계산이 늘어지면 17번의 접근을 확인하는 식으로 흐름을 조절할 수 있습니다. 객관식 후반을 모두 끝낼 때까지 서술·단답형을 미루지 말고, 20~22번도 초기에 훑어 출발점을 정해 두세요.

경우의 수에서는 분류 기준과 사용한 대상을 짧게 기록하세요. 7번은 같은 조 편성의 중복, 14·16번은 인접 조건, 21번은 뒷자리에서 사용한 숫자가 앞자리 선택에 주는 영향을 확인해야 합니다. 세는 도중 누락을 발견해 처음부터 다시 계산하는 일을 줄이는 것이 시간 확보에 도움이 됩니다.

검토할 때는 식을 모두 다시 계산하기보다 조건을 확인하세요. 2·12번은 역함수의 정의역, 5번은 제곱 전의 부호, 9·15·17번은 등호 성립 가능성을 살피세요. 18·19·22번은 구간 경계의 포함 여부와 후보가 속하는 범위를 마지막까지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프를 그리고 정의역·치역·점근선을 함께 적으세요. 역함수를 구한 뒤 범위까지 바꾸는 연습을 이어 가세요(1·2·6·11·12번 대비).
2. 순열과 조합의 차이를 복습한 뒤 앞자리 고정, 빈자리 활용, 조 편성의 중복 제거를 연습하세요. 무엇을 먼저 선택했는지 말로 설명해 보세요(3·4·7·8번 대비).
3. 그래프와 직선의 위치 관계를 시작점·접점·구간 끝점으로 나누어 해석하세요. 방정식의 실근과 실제 교점이 일치하는지도 검사하세요(5·10·13번 대비).
4. 부등식 활용에서는 도형이나 합·제곱합 조건을 먼저 식으로 바꾸세요. 적용 조건과 등호 조건을 나란히 적고 실제로 가능한지 확인하세요(9·15·17번 대비).
5. 색칠과 숫자 배치 문제는 기준 대상을 고정하고 경우를 나누는 표를 만드세요. 중복 허용과 인접 제한을 따로 관리하는 습관을 들이세요(14·16·20·21번 대비).
6. 구간별 함수는 치환, 단조성, 치역을 차례로 정리하세요. 이차함수의 축 위치별로 경우를 나누고 후보를 원래 범위에 대조하는 풀이를 완성하세요(18·19·22번 대비).