신목고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

신목고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

신목고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 객관식에서 기본 연산과 개념 적용을 확인하고 서술·단답형에서 조건을 종합하는 구성입니다.

초반에는 분배법칙, 곱셈공식의 변형, 복소수 범위에서의 근, 그래프와 방정식의 관계를 확인합니다. 이후 계수의 합을 대입으로 처리하거나 연립방정식을 인수분해로 나누는 등 계산 방법을 고르는 문제가 이어집니다. 개념을 알고 있는 데서 더 나아가 어떤 형태로 고쳐야 하는지 판단해야 합니다.

후반의 어려움 문항은 복잡한 전개보다 출발점을 찾는 데 부담이 있습니다. 허근이 만족하는 관계로 차수를 낮추기, 곱 형태의 다항식을 나눗셈 구조로 고치기, 구간별 그래프에서 실근 개수를 읽기가 대표적입니다. 서술·단답형은 조건을 식으로 옮기는 근거까지 정리하며 대비하는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 후반에 배치된 어려움 문항

쉬움 구간에서도 부호와 용어를 구별해야 합니다. 다항식의 음수 분배, 음수의 제곱근 표현, 접한다는 조건을 중근으로 바꾸는 과정은 계산량이 적어도 실수할 수 있습니다. 빠르게 푼 뒤 검토할 지점을 미리 정해 두세요.

보통 문항은 기본 개념을 다른 표현에 적용합니다. 9번은 항상 중근이라는 조건을 항등식으로, 13·14번은 연립이차방정식을 인수분해로 처리합니다. 16번은 도형의 길이를 변수로 나타낸 뒤 정의역을 갖는 넓이 함수로 바꾸는 과정이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움은 15번부터 나타납니다. 다만 16·18·20번은 보통이므로 번호가 뒤라는 이유로 함께 미루지 마세요. 21·22번을 위한 시간을 남기되, 접근 가능한 후반 문항을 먼저 마무리하는 전략이 적절합니다.

출제 단원 — 이차함수의 비중과 방정식의 연결

가장 비중이 큰 이차함수에서는 교점과 접점의 의미부터 제한된 범위의 최대·최소, 도형의 넓이, 구간별 함수까지 다룹니다. 같은 단원 안에서도 식을 세우는 방식이 달라서 꼭짓점 공식만 반복하는 공부로는 부족합니다. 그래프에 축과 범위를 표시하는 연습이 필요합니다.

이차방정식과 여러가지방정식에서는 근을 직접 구하는 문제와 근의 관계를 활용하는 문제가 함께 나옵니다. 특히 12번에서 익힌 사차식의 인수분해와 허근 판별은 21번의 준비가 됩니다. 항등식에서는 5번의 인수정리와 6번의 대입법을 확보한 뒤 17번의 구조적 변형으로 확장하세요.

다항식은 초반 연산에 그치지 않습니다. 18번은 대수식을 제곱의 합으로 바꾼 뒤 삼각형의 성질을 해석합니다. 복소수도 8번에서 켤레복소수와 거듭제곱을 연결하므로, 문항 수가 적다고 기본 성질을 생략해서는 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 이차함수와 방정식의 비중 확대

작년과 올해 모두 수학(상)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 같고, 보통은 줄고 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형 수는 줄었지만 올해 끝부분의 21·22번이 어려움이므로, 서술형 부담도 줄었다고 바로 해석하기는 어렵습니다.

작년에는 다항식과 항등식이 각각 6문항으로 가장 많았습니다. 올해는 두 단원이 각각 3문항이고, 이차함수는 작년 4문항에서 올해 6문항으로 늘었습니다. 이차방정식은 1문항에서 4문항, 여러가지방정식은 2문항에서 4문항으로 늘어 방정식과 함수의 연결을 더 폭넓게 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 16·17·18·22번에 있었고 올해는 15·17·19·21·22번에 있습니다. 올해는 객관식 후반과 마지막 서술·단답형에 걸쳐 대비해야 합니다. 작년의 다항식·항등식 연습을 바탕으로 올해의 제한된 범위 최대·최소와 사차식의 구조 파악을 보강하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움이며, 여기서는 풀이에 필요한 연결 단계를 근거로 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전 식의 구조나 그래프의 형태를 정리해야 합니다. 같은 문제를 복습할 때 첫 변형을 선택한 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본 문항을 처리하면서 6·8·9번처럼 아이디어가 필요한 문제에 오래 머무르지 않는지 점검하세요. 대입할 값이나 사용할 관계식이 떠오르지 않으면 표시하고 진행한 뒤 돌아오는 편이 좋습니다. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 자신의 풀이 기록을 기준으로 구간별 시간을 조정하세요.

객관식 후반에서 막혀도 16·18번과 서술·단답형 첫 문항인 20번을 확인하세요. 특히 20번은 근의 합을 비교하는 출발점이 있어 접근 여부를 빠르게 판단할 수 있습니다. 21·22번에는 조건을 정리하고 답안을 점검할 시간을 따로 남겨 두세요.

검토할 때는 7번의 음수 제곱근, 12번의 허수부분 부호, 13번의 순서쌍 중복, 14번의 부호 대응을 우선 보세요. 함수에서는 16번의 점의 이동 범위와 19번의 경우별 범위, 22번의 경계점 포함 여부를 확인하세요. 구한 후보를 원래 조건에 다시 대입하는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 연산과 공식 변형부터 안정시키세요. 전개 부호와 합·곱을 활용하는 방법을 구별하고 음수 제곱근의 정의를 점검하세요(1·2·3·7번 대비).
2. 항등식의 대입법과 인수정리를 묶어 연습하세요. 필요한 계수의 합을 고르고, 곱 형태에서 나누는 식을 드러내는 변형까지 확장하세요(5·6·17번 대비).
3. 근의 의미와 근과 계수의 관계를 정리하세요. 항상 성립하는 조건과 허근의 성질, 공통근을 이용하는 방법을 구별하세요(9·15·20번 대비).
4. 고차·연립방정식의 인수분해를 연습하세요. 경우별 해의 개수와 중복을 기록하고, 판별식으로 허근을 분리하세요(12·13·14·21번 대비).
5. 이차함수의 축과 정의역을 함께 그리세요. 교점·접점의 의미를 확인한 뒤 제한된 범위의 최대·최소와 도형의 넓이로 확장하세요(4·10·11·16·19번 대비).
6. 구간별 그래프와 수평선의 교점 개수를 연습하세요. 조건 정리와 경계점 확인을 포함해 풀이를 작성한 뒤 시간을 재고 다시 풀어 보세요(22번 대비).