영동고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

영동고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의에서 그래프 해석, 함수의 개수와 배치의 경우의 수까지 연결됩니다.

그래프를 그리는 데서 끝나지 않고 그래프가 조건을 만족하는 이유를 설명해야 하는 시험입니다. 역함수가 존재한다는 조건을 각 구간의 치역이 겹치지 않는다는 조건으로 바꾸거나, 대칭 관계를 거리와 넓이 계산에 활용하는 능력이 필요합니다.

서술·단답형은 19·20·22번이며 21번은 객관식입니다. 끝부분을 모두 같은 형식으로 생각하지 말고 문항의 요구를 따로 확인하세요. 기본형인 19번을 먼저 확보하고 조건 분기가 많은 문항에 시간을 남기는 접근이 유효합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움에 해당하는 1·2·7번은 역할별 선출, 반복 합성, 그래프 평행이동을 확인합니다. 처음부터 큰 식을 만들기보다 역할의 구별, 합성의 반복 구조, 이동 방향을 먼저 파악하면 풀이를 간결하게 유지할 수 있습니다.

보통 문항에서도 정의역과 인접 조건을 확인해야 합니다. 5번의 항등함수 조건은 각 조각의 정의 구간과 함께 읽어야 하고, 12번의 색칠 문제는 점에서만 만나는 영역과 변을 공유하는 영역을 구별해야 합니다.

어려움은 9·10·11번에서 시작되고 12번을 거쳐 13~18번에 이어집니다. 뒤쪽의 20·21·22번도 어려움으로 분류됩니다. 이 구간에서는 식을 세운 뒤 후보를 검증하는 과정까지 풀이 시간에 포함해야 합니다.

출제 단원 — 무리함수 중심의 그래프와 조건 연결

가장 많은 무리함수는 평행이동과 사분면 판단에서 출발해 교점, 역함수, 원과의 접촉, 일대일성으로 확장됩니다. 같은 제곱근 그래프라도 시작점과 진행 방향을 먼저 잡은 뒤 다른 조건을 얹는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수는 단순 대입보다 합성 가능한 입력과 출력의 연결이 중요합니다. 유리함수는 점근선과 대칭 중심을 읽는 기본형뿐 아니라 조각별 치역을 연결하는 문항까지 포함됩니다. 단원 이름이 달라도 정의역·치역 확인이라는 공통 과제로 묶어 복습할 수 있습니다.

순열조합은 선출과 조합의 성질, 색칠, 격자 배치로 소재가 바뀝니다. 공식 선택 전에 무엇을 구별하고 어떤 자리가 이웃하는지 정리해야 합니다. 함수 단원 역시 항등함수와 일대일대응의 정의를 적용하는 판단이 중요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합에서 무리함수로 옮겨간 최다 단원

두 시험의 과목은 수학(하)로 같습니다. 총 문항은 23문항에서 22문항으로 줄었고 서술·단답형은 모두 3문항입니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 6문항에서 3문항, 보통은 6문항에서 7문항, 어려움은 11문항에서 12문항으로 바뀌었습니다. 기본 구간에서 시간을 확보할 여지가 줄어든 구성입니다.

무리함수는 4문항에서 6문항, 유리함수는 4문항에서 5문항으로 늘었습니다. 순열조합은 6문항에서 4문항으로 줄었으며 합성함수와역함수는 모두 5문항입니다. 따라서 함수 그래프와 조건 해석을 우선 보완하되 경우의 수 학습도 유지하는 편이 좋습니다.

작년 어려움은 6·8번부터 나타났고 올해는 9번부터 시작합니다. 다만 올해 13~18번은 어려움이 연속되므로 시작 위치만으로 부담이 줄었다고 보기는 어렵습니다. 연습할 때는 초반 속도뿐 아니라 중반의 긴 조건 해석 구간을 견디는 시간 운영도 확인하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 수식으로 바꾸기 전에 적용할 구조를 결정해야 한다는 공통점이 있습니다. 합성의 구간, 접촉의 기하 관계, 함수의 종류를 먼저 정리하면 이후 계산의 목적이 분명해집니다. 자동 분류상 어려움 문항 중 이러한 연결이 두드러지는 사례로 골랐습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1·2·7번과 풀이 방향이 바로 보이는 보통 문항을 우선 처리하세요. 9~11번에서 해석이 길어지면 표시하고 다음 문항으로 이동하는 기준을 세워 두는 편이 좋습니다. 정해진 시험 시간이 자료에 없으므로 연습에서 자신의 소요 시간을 기록해 기준을 잡으세요.

후반 문항을 보기 전에 시간을 모두 사용하지 않도록 전체를 먼저 훑어보세요. 19번은 대칭 중심을 이용하는 기본형이므로 앞쪽의 어려운 문항에 묶여 접근 기회까지 잃지 않는 것이 중요합니다. 20·22번은 조건을 정리하고 답안을 확인할 시간을 따로 남겨야 합니다.

검산은 조건 중심으로 하세요. 10번은 구간 끝점의 포함 여부, 14번은 합성의 정의 가능성, 16번은 묶음 순서에 따른 중복, 20번은 치역의 경계, 21번은 상하좌우 인접 관계를 확인하세요. 계산을 다시 하는 것보다 빠진 조건을 찾아보는 검산이 도움이 됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의부터 정리하세요. 항등함수·상수함수·일대일대응을 작은 대응 그림으로 구별하고 조건을 설명해 보세요(5·22번 대비).
2. 그래프의 시작점, 점근선, 대칭 중심과 이동 방향을 복습하세요. 최대·최소와 사분면 조건을 같은 그림에 표시해 보세요(4·6·7·19번 대비).
3. 조각별 함수의 정의역과 치역을 나란히 적는 연습을 하세요. 열린 경계와 닫힌 경계를 구별한 뒤 일대일성을 판단하세요(9·20번 대비).
4. 합성은 입력에서 중간 출력으로 이어지는 순서를 적으세요. 반복 구조와 구간 재분할, 정의되지 않는 입력을 함께 점검하세요(2·3·10·14번 대비).
5. 역함수의 대칭을 교점·거리·넓이와 연결하세요. 주기적인 그래프의 교점과 원의 접촉은 가능한 구간을 먼저 좁혀 보세요(11·13·15·17·18번 대비).
6. 경우의 수는 기준에 따라 분류한 표를 작성하세요. 선출의 역할 구별, 색칠과 격자의 인접 관계, 순환 묶음의 중복을 따로 확인하세요(1·8·12·16·21번 대비).