신목고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

신목고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

신목고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 순열조합, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 함수입니다. 경우의 수와 함수가 함께 출제되며, 함수 문제에서도 조건을 만족하는 대응의 개수를 세는 내용까지 다룹니다.

초반에는 조합 기호 계산, 교대 배열, 합성 순서와 역함수의 성질을 확인합니다. 중반에는 그래프의 이동과 사분면, 역함수의 존재 조건, 합성함수의 치환처럼 기본 개념을 다른 표현으로 옮기는 능력이 필요합니다. 공식을 기억하는 데서 나아가 그 공식을 적용할 수 있는 조건까지 설명할 수 있어야 합니다.

후반부에는 조건을 동시에 처리하는 문항이 나타납니다. 19번은 함수의 반복 합성을 원소 사이의 순환으로 읽고, 20번은 색칠 조건에서 전체 경우와 제외할 경우를 구분합니다. 22번은 구간별 그래프의 함숫값 범위와 경계 포함 여부를 살펴야 하므로, 풀이의 출발 구조를 잡는 연습이 중요합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 후반의 조건 해석

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간인 1~4번은 기본 조합 계산과 배열, 합성함수의 대입과 역함수의 성질을 다룹니다. 특히 4번은 복잡해 보이는 합성식을 역함수 관계로 간단히 할 수 있으므로, 식의 길이만 보고 계산량을 판단하지 않는 것이 좋습니다.

보통 구간은 5~15번과 17·21번입니다. 11번에서는 무리식의 제곱 전 조건을, 14번에서는 치환 뒤 원래 변수의 실근 존재를 확인해야 합니다. 자동 분류 기준 보통이라도 조건 검토를 생략하면 풀이가 흔들릴 수 있어, 대입·치환·그래프 중 어떤 접근이 적절한지 고르는 훈련이 필요합니다.

16번 이후에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 나타나지만, 17·21번은 보통입니다. 앞 문항에서 막혀도 다음 문항을 확인할 가치가 있습니다. 서술·단답형을 모두 같은 부담으로 묶지 말고, 역함수의 정의로 출발할 수 있는 21번처럼 접근이 분명한 문제를 먼저 찾아보세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 연결

순열조합은 단순한 공식 계산에 머물지 않습니다. 8번의 사전식 배열, 9번의 삼각형 조건, 17번의 대진표, 20번의 색칠처럼 세는 대상과 구별 기준이 달라집니다. 같은 종류의 대상을 어떤 순서로 분류할지 정하고, 조의 이름이나 짝의 순서가 바뀐 것을 새 경우로 셀지 확인해야 합니다.

유리함수에서는 점근선과 대칭의 중심이 여러 문항의 출발점입니다. 5번의 평행이동에서 익힌 그래프 해석은 18번의 역함수 조건과 거리의 최솟값으로 연결됩니다. 22번에서는 그래프 전체의 모양만 보는 것으로 부족하며, 제한된 구간에서 실제로 얻는 함숫값과 얻지 못하는 끝값을 구분해야 합니다.

합성함수와역함수는 식을 직접 전개하기 전에 합성 순서와 치환을 검토하는 것이 효과적입니다. 무리함수 역시 6번의 증감과 끝점, 11번의 교점, 12번의 구간 선택처럼 정의역·치역 판단이 중심입니다. 19번은 함수 단원으로 분류되어 있지만 실제 준비에서는 경우의 수와 연결해 공부하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 그래프나 원소의 움직임을 다른 표현으로 바꿔야 합니다. 풀이가 막히면 식을 더 전개하기 전에 대칭 중심, 순환 묶음, 구간별 치역 가운데 무엇을 먼저 적어야 하는지 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형을 정확하게 처리하고 중반의 접근 가능한 문제를 이어 가세요. 16번에서 도형의 경우 분류가 길어지면 표시해 두고 17번을 확인하는 편이 좋습니다. 객관식을 모두 마칠 때까지 서술·단답형을 미루기보다 전체를 훑어 21번처럼 출발이 분명한 문항을 먼저 확보하는 연습을 권합니다.

경우의 수에서는 계산 전에 중복의 기준을 짧게 적으세요. 9번은 변의 순서, 16번은 중심 포함 여부와 삼각형 성립, 17번은 조와 짝의 구별이 중요합니다. 20번은 이웃 관계를 그림에 표시하고 같은 색 조건을 묶은 뒤, 요구한 색의 사용 조건까지 반영했는지 검토하세요.

함수 문제의 마지막 검토는 정의역과 경계에 집중하세요. 11·12번은 제곱 전 부호와 구간별 치역, 14번은 치환을 되돌린 뒤의 실근 존재를 확인해야 합니다. 18번은 치환 범위와 등호 조건을, 22번은 닫힌 끝점과 점근선으로 얻지 못하는 값을 구별하세요. 연습에서는 계산 시간과 조건 정리에 걸린 시간을 따로 기록해 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 합성의 기본 계산을 복습하세요. 순서를 구별하는지와 합성의 적용 순서를 말로 설명한 뒤 식을 쓰세요(1·2·3·4·15번 대비).
2. 경우의 수는 앞자리 고정, 가장 큰 대상 고정, 조 나누기로 분류하는 연습을 하세요. 서로 겹치지 않는 기준을 세우고 중복을 확인하세요(8·9·17번 대비).
3. 유리함수를 점근선과 대칭의 중심으로 스케치하세요. 평행이동의 방향과 가지의 위치를 확인한 다음 사분면과 거리 문제로 확장하세요(5·7·18번 대비).
4. 역함수는 일대일대응 조건과 입력을 되짚는 과정을 함께 익히세요. 무리식을 제곱하기 전 부호 조건을 적고 치환 후 원래 변수의 조건도 검사하세요(10·11·12·14·21번 대비).
5. 반복 합성은 짧은 단계에서 규칙을 찾으세요. 식의 반복과 유한집합 원소의 순환을 각각 정리하고 허용되는 구조를 구분하세요(13·19번 대비).
6. 도형과 색칠 문제에서는 성립하지 않는 경우와 중복을 따로 표시하세요. 구간별 함수에서는 치역을 따로 써서 끝값 포함 여부를 비교하는 연습까지 이어 가세요(16·20·22번 대비).