한가람고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

한가람고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 합성함수와역함수, 함수, 집합입니다. 경우의 수와 여러 함수의 성질을 중심으로 준비해야 하는 범위입니다.

함수 문제에서는 정의역과 치역, 역함수의 존재 조건, 점근선과 대칭성을 구분하는 능력이 중요합니다. 그래프를 스케치하고 허용되는 구간을 표시해야 식으로 얻은 후보를 검증할 수 있습니다. 절댓값이나 근호가 포함되면 가지를 나누는 단계가 추가됩니다.

경우의 수에서는 순열과 조합의 공식만 외우는 것으로 부족합니다. 순서가 있는 선택인지, 고르면 배열이 자동으로 정해지는지, 같은 묶음을 중복해서 세는지 판단해야 합니다. 서술·단답형에서도 경우를 나눈 기준과 빠진 경우가 없다는 근거를 짧게 남기는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 보통 중심, 후반의 조건 해석에 주의

쉬움은 1·2·4·9·17번입니다. 유리식과 무리식의 계산, 일대일함수의 개수, 비인접 배열, 무리함수의 역함수처럼 기본 원리를 확인합니다. 쉬움으로 분류된 17번도 역함수의 정의역을 쓰지 않으면 조건 정리가 끝나지 않습니다.

보통 문항은 객관식과 서술·단답형 전반에 걸쳐 있습니다. 12번의 색칠은 색의 일치 여부로 경우를 나누고, 19번의 증가하는 함수는 선택과 배열을 구별해야 합니다. 계산량보다 분류 기준을 잡는 데 시간이 들 수 있는 구간입니다.

자동 분류 기준 어려움인 10·16번을 만났다고 다음 문항도 같은 수준이라고 예상하지 마세요. 17~20번과 22번에도 먼저 해결할 만한 문제가 있습니다. 난이도 분류는 학습 순서를 정하는 참고 자료이며 개인의 체감 난도와 반드시 같지는 않습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 무리함수의 교점 해석

순열조합은 가장 많은 단원입니다. 3번의 기호 해석에서 7번의 나머지 분류, 8번의 여사건, 12번의 색칠, 18번의 사전식 배열로 접근법이 달라집니다. 문제를 읽고 어떤 대상을 세는지 한 문장으로 정리한 뒤 공식을 선택하세요.

무리함수는 기본 계산과 역함수부터 직선의 위치 관계까지 이어집니다. 11번에서는 증가·감소와 시작점의 위치를 이용할 수 있지만, 21·24번에서는 여러 가지의 교점과 경계까지 확인해야 합니다. 단순 연립보다 그래프의 변화 과정을 설명하는 연습이 필요합니다.

유리함수는 1번의 식 정리와 5·13번의 역함수·대칭성, 10번의 절댓값 그래프로 확장됩니다. 합성함수와역함수의 16번은 실제 풀이에서 경우의 수와 연결됩니다. 단원 표의 분류와 문제를 푸는 도구가 항상 일치하지 않는다는 점도 기억하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 순열조합 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 9문항에서 올해 5문항으로 줄고, 쉬움과 보통은 늘었습니다. 총 문항과 서술·단답 문항은 각각 늘었으므로 어려움의 감소만으로 풀이 시간의 여유까지 단정할 수는 없습니다.

겹치는 단원 가운데 순열조합은 작년 6문항에서 올해 10문항으로 늘었습니다. 무리함수는 5문항에서 6문항으로, 유리함수는 5문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 경우의 수를 먼저 안정시키되 함수의 그래프 조건을 함께 준비하는 방향이 적절합니다.

작년 어려움은 8·9·11~15·20·23번에 있었고, 올해는 10·16·21·23·24번입니다. 객관식 중후반에 이어지던 배치에서 서술·단답형 끝부분도 주의해야 하는 구성으로 바뀌었습니다. 다음 대비에서는 기본형을 빠르게 마친 뒤 교점과 비인접 조건을 끝까지 검증하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 대상을 나누어 센 뒤 중복과 제외 조건을 다시 확인해야 합니다. 풀이를 복습할 때에는 계산보다 분류 기준을 먼저 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 식의 구조가 바로 보이는 문항부터 해결하세요. 10번의 대칭 조건이나 16번의 짝 분류에서 출발이 막히면 표시하고 다음 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 17~20번과 22번을 살펴볼 시간도 확보해 객관식 한 문제에 오래 머무르지 마세요.

서술·단답형은 출발 조건을 짧게 적고 계산하는 순서로 연습하세요. 17번은 치역과 역함수의 정의역, 19번은 증가 조건으로 정해지는 배열, 22번은 공역에 빠지는 원소가 없다는 조건이 중요합니다. 시간이 걸리는 이유가 조건 해석인지 계산인지 구별해 기록하면 복습할 지점이 분명해집니다.

마지막 검토에서는 전체 계산을 반복하기보다 조건을 대조하세요. 14·21번은 근호와 제곱 과정의 부호, 16·22번은 묶음의 중복, 23번은 양 끝의 틈을 확인해야 합니다. 24번은 분모 때문에 제외되는 점과 그래프를 나누면서 중복 계산한 교점이 없는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리식·무리식 계산과 함수의 기본 정의를 복습하세요. 통분 전의 제외 조건과 일대일 대응의 의미를 말로 정리하세요(1·2·4번 대비).
2. 역함수는 정의역·치역·공역을 함께 표시하며 연습하세요. 좌표 교환과 일대일대응 조건을 구별하세요(5·6·14·17번 대비).
3. 경우의 수는 순열·조합·여사건 중 무엇을 쓰는지 먼저 결정하세요. 나머지별 분류와 사전식 배열도 묶음 단위로 정리하세요(3·7·8·18번 대비).
4. 비인접 배열과 색칠을 연습하세요. 틈을 만드는 순서와 색의 일치 여부를 기준으로 빠짐없는 경우를 구성하세요(9·12·15·23번 대비).
5. 함수 개수와 부분집합 문제를 선택·분배·포함 횟수로 바꾸세요. 같은 크기의 묶음을 구별하는 기준도 설명하세요(16·19·20·22번 대비).
6. 함수 그래프는 점근선·대칭 중심·정의역 시작점을 먼저 그리세요. 이후 절댓값과 평행이동, 교점 중복 검토로 확장하세요(10·11·13·21·24번 대비).