양재고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

양재고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 함수, 집합입니다. 함수의 식을 계산하는 능력뿐 아니라 그래프의 모양과 대응 관계를 읽는 능력을 함께 확인하는 시험입니다.

순열조합은 기호 계산부터 배열, 도형, 모둠 나누기, 색칠, 좌석 배치까지 상황이 다양합니다. 공식을 외워 적용하는 데서 그치지 않고 무엇을 같은 경우로 볼지 정해야 합니다. 함수 영역에서도 합성 순서와 역함수의 뜻을 이해한 뒤 정의역과 치역의 제한을 적용해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움은 후반에 집중되지만 서술·단답형 전체가 같은 난도인 것은 아닙니다. 객관식의 긴 조건에 막혔을 때 뒤의 접근 가능한 문항을 확인하는 운영이 필요합니다. 계산을 끝낸 뒤 원래 조건으로 돌아가 후보와 경계의 포함 여부를 검토하는 습관도 중요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

쉬움은 합성함수의 대입, 유리함수의 평행이동, 순열·조합 기호, 여사건을 이용한 배열입니다. 이 문항들은 기본 개념을 빠르게 확인할 기회입니다. 다만 평행이동으로 바뀌는 요소와 유지되는 요소를 구별하고, ‘적어도’ 조건의 반대를 정확히 잡아야 합니다.

보통 구간은 그래프의 대칭성, 역함수 변환, 도형에서의 중복 계산, 합성함수의 그래프 해석 등으로 넓습니다. 특히 10·11·13번은 함수의 표현을 다른 형태로 옮기는 과정이 필요합니다. 분류가 보통이라고 해서 계산만 짧게 끝나는 문항으로 받아들이기보다 풀이의 출발 개념을 확인하세요.

15~18번과 21번은 여러 조건이 서로 영향을 주는 구간입니다. 대응의 중복 금지, 교점이 생기는 범위, 좌석의 구별, 구간별 치역을 각각 정리해야 합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 순열조합의 다양한 상황과 함수의 범위

순열조합은 가장 많은 단원이지만 같은 계산의 반복은 아닙니다. 8번은 같은 직선의 중복, 12번은 구별되지 않는 모둠, 14번은 색의 관계에 따른 분류를 다룹니다. 문제마다 ‘대상을 고르는 일’과 ‘고른 결과가 서로 다른 경우인지 판단하는 일’을 구분해 연습하세요.

합성함수와역함수에서는 대입 계산을 그래프와 조건 해석으로 확장합니다. 13번은 바깥 함수가 요구하는 입력을 찾은 뒤 안쪽 함수의 그래프로 되돌아가야 합니다. 19번은 구간별 함수가 일대일대응이 되는 조건과 증가함수의 성질을 연결하므로 정의와 성질을 문장으로 설명하는 연습이 도움이 됩니다.

유리함수와 무리함수는 평행이동, 대칭, 정의역과 치역을 묶어 준비하세요. 16번은 서로 다른 종류의 그래프를 비교하고 18번은 구간별로 변환된 함수의 값의 범위를 비교합니다. 함수 단원의 15·21번도 대응 가능한 값의 범위를 좁히는 것이 출발점이라는 점에서 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 순열조합 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 5문항으로 줄고 보통은 8문항에서 12문항으로 늘었습니다. 총 문항도 줄었지만 서술·단답형 수는 같습니다. 이 변화는 분류상 구성의 차이이며 실제 시험 현장의 시간 부담까지 확정하는 근거는 아닙니다.

순열조합은 6문항에서 7문항으로 늘어 가장 많은 단원이 되었고, 합성함수와역함수는 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 무리함수는 3문항으로 같고 올해에는 집합도 포함됩니다. 순열조합의 여러 상황을 익히면서 함수 영역의 기본 대응과 그래프 해석을 함께 유지하는 준비가 필요합니다.

작년에는 어려움이 10·12번부터 나타나 객관식 후반과 마지막 서술·단답형에 이어졌습니다. 올해는 15~18번과 21번에 집중됩니다. 다음 시험 대비에서는 기본형을 정확히 처리한 뒤 복합 조건을 다루는 연습을 이어 가되, 올해의 배치가 그대로 반복된다고 가정하지 말고 전체 문항을 훑는 연습도 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 가능한 범위를 좁혀야 합니다. 그래프에서는 구간과 치역을, 대응에서는 사용한 값을 표로 정리하면 조건 누락과 중복 계산을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대입과 기본 공식으로 접근할 수 있는 문항을 확보하세요. 15~18번에서 조건 정리가 길어지면 풀이 상태를 표시하고 19·20번을 확인하는 방식이 좋습니다. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 계획보다는 실제 연습에서 해석과 계산에 걸린 시간을 따로 기록하세요.

그래프 문항은 계산 전에 작은 그림을 남기세요. 7번은 시작점과 뻗는 방향, 16번은 점근선과 공통 정의역, 18번은 구간별 치역의 경계가 검토 기준입니다. 10번의 제곱과 11번의 교점 계산에서도 식으로 구한 후보가 원래 정의역에 들어가는지 확인할 시간을 남겨 두세요.

경우의 수에서는 세기 단위를 먼저 적으세요. 8번의 직선 중복, 12번의 구별되지 않는 모둠, 17번의 이미 정해진 좌우 배치는 같은 방식으로 처리할 수 없습니다. 서술·단답형에서는 19번의 치역 연결, 20번의 자유롭게 선택하는 영역, 21번의 분류 기준을 짧게 적은 뒤 계산하면 검토하기 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합의 기호와 여사건을 복습하고, 전체와 제외할 경우의 대상을 말로 설명하세요(4·5번 대비).
2. 도형과 모둠 문제에서 중복되는 대상을 표시하세요. 점의 선택과 직선의 구별, 같은 크기 모둠의 구별 여부를 비교하세요(8·9·12번 대비).
3. 색칠과 좌석 문제는 분류 기준을 먼저 적고 각 경우가 겹치지 않는지 확인하세요. 조건이 배치를 이미 결정하는 부분도 표시하세요(14·17번 대비).
4. 합성과 역함수는 입력을 따라가는 화살표로 정리하세요. 그래프에서 가능한 중간값을 찾는 문제까지 확장하세요(1·6·10·11·13번 대비).
5. 유리함수와 무리함수의 기본형, 점근선, 정의역과 치역을 한 그림에 적으세요. 이후 교점 수와 구간별 치역 문제를 연습하세요(2·3·7·16·18번 대비).
6. 일대일대응은 대응표로 사용한 값과 남은 값을 관리하세요. 구간별 함수의 역함수 존재 조건과 유한집합의 대응 조건을 각각 설명하세요(15·19·21번 대비).
7. 집합의 원소 선택을 조건이 걸린 영역과 자유로운 영역으로 나누어 복습하세요. 모든 영역에 같은 선택 규칙을 적용하지 않도록 확인하세요(20번 대비).