문현고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

문현고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 시험은 삼각함수의 활용과 등차·등비수열, 수열의 합, 수학적 귀납법 관련 내용을 다룹니다. 객관식 18문항과 서술·단답형 3문항이 있으며, 수열 계산과 도형 해석을 함께 준비해야 하는 구성입니다.

기본 개념을 직접 적용하는 문항과 여러 조건을 연결하는 문항의 차이가 뚜렷합니다. 등비수열의 항 사이 관계나 시그마 표현을 확인하는 데서 출발하지만, 이후에는 약수의 합을 등비수열의 합으로 바꾸거나 방정식의 근을 등차수열로 표현해야 합니다. 문제에 적힌 대상을 익숙한 수학적 구조로 옮기는 과정이 중요합니다.

서술·단답형은 도형의 넓이, 로그로 표현된 합에서 원래 수열 찾기, 귀납적으로 정의된 수열의 나머지를 다룹니다. 자동 분류 기준상 모두 어려움이지만 필요한 발상은 서로 다릅니다. 마지막에 남은 시간을 계산에만 쓰기보다, 각 문항의 출발 관계를 먼저 적어 두는 운영이 적절합니다.

난이도 분포 — 어려움이 절반을 넘고 후반에 연속 배치

쉬움 문항은 등비수열의 항 관계, 합의 시그마 표현, 겹치는 합의 소거를 확인합니다. 긴 전개보다 항의 간격과 합의 범위를 읽으면 풀이를 줄일 수 있습니다. 보통 문항에서도 절댓값의 부호 구간이나 첫째항 검산처럼 계산 전에 확인할 조건이 있습니다.

7·9·10번에서 도형 관계와 수열의 합을 새롭게 해석하는 어려움 문항이 나옵니다. 이후 11·12·14번에는 보통 문항이 있으므로 앞에서 막혔다고 뒤의 풀이까지 늦출 필요는 없습니다. 전체를 훑으며 자신이 바로 관계식을 세울 수 있는 문항을 먼저 확보하세요.

15~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 합의 소거, 내접원과 닮음, 근과 계수의 관계, 조건에 따른 점화식 등 서로 다른 발상을 요구합니다. 이 구간에서는 계산량만 보고 순서를 정하기보다 핵심 관계가 보이는지를 기준으로 접근하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 등차등비수열과 삼각함수활용이 공동 최다

등차등비수열은 항과 합의 공식에서 출발해 정수 조건, 약수의 총합, 방정식의 근과의 연결까지 확장됩니다. 단원명만 보고 같은 풀이를 반복하기보다, 항 자체를 구하는 문제인지 조건을 만족하는 항의 번호를 찾는 문제인지 구별해야 합니다.

삼각함수활용에서는 사인법칙과 코사인법칙을 어느 삼각형에 적용할지 정하는 능력이 중요합니다. 원에 내접한 사각형, 분할된 삼각형, 내접원, 정사각형이 함께 등장합니다. 그림에 이미 있는 변만 볼 것이 아니라 공통 대각선이나 접점, 직각이 만드는 관계를 표시하는 연습이 필요합니다.

수열의합과 수학적귀납법은 합에서 일반항을 얻는 과정과 점화식의 해석을 연결합니다. 특히 12번에서 익힌 이웃한 합의 차를 20번에서는 로그의 합에 적용해야 합니다. 귀납법 단원도 증명 빈칸뿐 아니라 직접 항 계산, 조건별 분기, 배수 성질 활용까지 나뉘므로 골고루 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 어려움 비중은 확대

작년과 올해 모두 수학I이며 총 문항과 서술·단답형의 구성은 같습니다. 다만 자동 분류 기준 어려움은 작년 3문항에서 올해 11문항으로 늘었습니다. 작년에는 15·17·18번에 모였지만 올해는 7번부터 나타나고 서술·단답형까지 이어지므로, 같은 문항 수라도 풀이 순서와 시간 운영을 새롭게 점검해야 합니다.

등차등비수열은 작년 7문항에서 올해 6문항으로 줄었지만 여전히 최다 단원에 속합니다. 삼각함수활용은 5문항에서 6문항, 수열의합은 2문항에서 5문항, 수학적귀납법은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 작년에는 별도로 분류된 삼각함수그래프와 삼각함수 문항도 있어, 단원별 변화는 이 분류 차이까지 고려해 읽어야 합니다.

대비할 때는 작년의 문항 구성만으로 이번 시험의 풀이 부담을 예상하지 마세요. 기본 유형을 익힌 다음 합을 변형하는 문제와 여러 도형 관계를 연결하는 문제를 추가하고, 서술·단답형을 위한 풀이 시간도 따로 확보하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 문항이 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 세운 뒤 끝내지 않고, 계산 과정의 전제와 원래 조건을 다시 대조해야 합니다. 복습할 때는 계산 줄 수보다 어떤 조건을 언제 사용했는지 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~6번에서 항의 관계와 합의 범위를 정확히 읽는 데 집중하세요. 7·9·10번에서 풀이의 출발점이 보이지 않으면 표시하고, 뒤의 11·12·14번을 확인하는 방식으로 순서를 조정할 수 있습니다. 도형에 관계를 표시해도 새 식이 나오지 않는다면 일단 다른 문항으로 이동하는 기준을 정해 두세요.

후반의 15~21번을 한꺼번에 남겨 두면 서로 다른 발상을 연속으로 찾아야 합니다. 서술·단답형을 미리 훑어 넓이 공식, 누적합의 차, 배수 성질 중 출발점을 잡을 수 있는 문항부터 시작하세요. 구체적인 제한 시간은 제공된 자료로 확인되지 않으므로, 실제 연습에서는 자신의 풀이 기록을 바탕으로 재검토 시간을 남기는 계획을 세우세요.

검산에서는 5번의 절댓값 구간, 13번의 항 번호와 항의 값 구별, 15번의 영인 항 배제, 17번의 서로 다른 근 조건을 확인하세요. 20번은 첫째항이 이후 일반항 관계와 같은지 따로 확인해야 합니다. 19번은 넓이에 들어가는 끼인각, 21번은 뒤 항들의 배수 성질이 계속 유지되는 근거를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 항과 합의 기본 관계부터 정리하세요. 항 번호의 차이, 시그마의 범위, 겹치는 합의 소거를 짧게 설명하는 연습을 합니다(1·2·3·6번 대비).
2. 사인법칙과 코사인법칙의 적용 대상을 구별하세요. 각과 대변을 표시하고, 공통 대각선이나 분할된 삼각형에서 관계식을 세웁니다(4·7·8·10번 대비).
3. 부분합에서 일반항을 복원하는 유형을 연습하세요. 첫째항을 따로 확인하고 짝수 번째 항의 합이나 로그의 누적합으로 확장합니다(12·20번 대비).
4. 수열의 합을 변형하는 훈련을 하세요. 약수의 합을 합의 곱으로, 이웃한 항의 곱을 역수의 차로 표현한 뒤 남는 항을 확인합니다(9·15번 대비).
5. 조건 검증을 풀이 끝에 붙이세요. 절댓값의 부호 구간, 정수가 되는 항 번호, 근의 배열과 공차 조건을 후보마다 대조합니다(5·13·17번 대비).
6. 점화식은 계산형·증명형·분기형으로 나누어 연습하세요. 사용한 첨자와 배수 조건을 기록하고 이후 항에도 성질이 유지되는지 설명합니다(11·14·18·21번 대비).
7. 도형의 보조 관계를 복습한 뒤 시간을 재고 전체를 풀어 보세요. 접선 길이와 닮음, 직각에 따른 삼각비 관계를 표시하고 후반 재검토 시간을 확보합니다(16·19번 대비).