한가람고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

한가람고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합과 이차방정식, 복소수입니다. 함수의 기본 정의에서 그래프의 교점과 최댓값·최솟값으로 이어지고, 경우의 수에서는 선택과 배치의 조건을 구분합니다.

함수 문항은 역함수의 식을 구하는 계산만으로 마무리되지 않습니다. 정의역과 치역을 서로 바꾸거나, 점근선과 대칭 중심을 이용해 그래프의 이동을 해석해야 합니다. 무리식이 등장하면 제곱을 하기 전에 부호를 확인하고, 치환한 변수의 범위를 함께 옮기는 능력이 필요합니다.

순열조합은 조합의 수, 삼각형의 개수, 최단경로, 숫자를 포함하는 자연수, 자리 배치와 지불 방법까지 소재가 다양합니다. 공식 이름을 고르기보다 무엇을 같은 경우로 볼지 먼저 정해야 합니다. 서술·단답형에서는 경우를 나눈 기준과 제외한 이유까지 짧게 남기는 연습이 유효합니다.

난이도 분포 — 객관식 중후반의 함수 조건 해석

쉬움은 1~3번이며, 역함숫값과 조합의 수, 정의역을 확인합니다. 보통 문항은 4~7번, 10·16번과 서술·단답형 17~19·21·22번입니다. 이 구간도 역함수의 존재 조건이나 지불 금액의 중복처럼 개념의 구분이 필요하므로 식의 계산만 연습해서는 부족합니다.

어려움은 8·9번에서 시작해 11~15번에 이어집니다. 역함수, 그래프의 이동, 치환 후의 범위, 교점 개수 등 서로 다른 접근을 선택해야 하는 구간입니다. 번호가 뒤로 갈수록 항상 어려워지는 배치는 아니므로, 풀이가 길어질 때 뒤의 접근 가능한 문항을 확인하세요.

서술·단답형의 어려움은 20·23번입니다. 20번은 배치 조건을 중복 없이 세는 과정, 23번은 합성 조건과 고정점을 연결하는 과정이 핵심입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 학생의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 분류와 함께 각 문항에서 요구하는 조건 처리 단계를 살펴보세요.

출제 단원 — 순열조합의 폭넓은 소재와 함수의 범위 조건

순열조합은 2·7·16·19·20·22번으로 가장 많습니다. 전체에서 불가능한 경우를 빼는 방법, 경유점을 기준으로 경로를 나누는 방법, 조건을 만족하는 자리를 먼저 정하는 방법을 구별해야 합니다. 같은 경우의 수라도 숫자를 만드는 문제와 지불 금액을 세는 문제는 중복 처리 방식이 다릅니다.

무리함수는 8·13·14·15·17번, 유리함수는 9·10·12·18·23번입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 무리함수의 8·13·14·15번과 유리함수의 9·12·23번에 있습니다. 두 단원은 식 변형보다 정의역, 단조성, 제곱의 동치 조건, 점근선과 같은 그래프의 성질을 함께 확인하는 것이 중요합니다.

합성함수와역함수의 1·5·21번은 역함숫값에서 시작해 역함수의 존재와 구간별 표현으로 확장됩니다. 함수의 11번도 합성 결과가 항등함수가 된다는 조건을 경우의 수로 옮깁니다. 이차방정식의 4번과 복소수로 분류된 6번은 전개를 길게 하기 전에 주어진 등식으로 식을 줄이는 연습에 활용하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 계산의 결과만으로 마무리할 수 없고, 구간·배치·정의 가능성이라는 원래 조건으로 돌아가야 합니다. 연습할 때 계산 옆에 각 조건이 어디에서 사용되었는지 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 개념 확인을 정확하게 처리하고 8·9번에서 풀이가 길어지면 표시해 두세요. 객관식 11~15번에 오래 머무르기 전에 16번과 서술·단답형 전체를 살펴보는 연습이 필요합니다. 특히 17~19·21·22번은 자동 분류 기준 보통이므로, 서술·단답형이라는 이유만으로 모두 마지막까지 미루지 마세요.

함수 문항의 검토는 식보다 범위부터 하세요. 3번은 약분 전의 분모 조건, 5·8번은 역함수의 정의역과 치역, 13번은 치환 변수의 열린 끝점과 닫힌 끝점이 중요합니다. 14·15·17번에서는 제곱하기 전의 부호와 경계 포함 여부를 표시하고, 21번에서는 원래 구간을 역함수에 그대로 붙이지 않았는지 확인하세요.

경우의 수는 세는 대상을 먼저 한 줄로 적어 두면 검산이 쉬워집니다. 7번은 삼각형을 만들지 못하는 선택, 19번은 자릿수를 맞추며 추가한 대상, 20번은 열과 자리의 구별을 점검하세요. 22번은 같은 금액을 만드는 방법이 여러 개일 수 있다는 점을 확인해야 합니다. 마지막에는 23번의 분모 조건처럼 계산 중 사라진 제한을 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의역과 역함숫값의 기본을 복습하세요. 약분 전 제외되는 입력을 먼저 적고 역함수의 입력·출력을 바꾸는 연습을 하세요(1·3번 대비).
2. 역함수가 존재하는 조건을 그래프와 연결하세요. 일대일성과 치역·공역의 일치를 확인한 뒤 구간별 역함수의 범위를 써 보세요(5·8·21번 대비).
3. 유리함수를 점근선이 드러나는 형태로 정리하세요. 대칭 중심과 이동을 읽고, 거리의 최솟값과 매개변수에 따른 범위를 따로 연습하세요(9·10·12·18번 대비).
4. 무리함수는 부호 확인, 제곱, 치환 범위, 원래 조건 검토의 순서로 풀어 보세요. 교점 개수와 최댓값·최솟값을 그래프에 표시하세요(13·14·15·17번 대비).
5. 경우의 수는 여사건, 경로 분할, 조건을 먼저 고정하는 배치를 나누어 연습하세요. 방법의 수와 서로 다른 결과의 수를 구별하세요(2·7·16·19·20·22번 대비).
6. 함수의 조건을 다른 형태로 옮기는 연습으로 마무리하세요. 항등함수 조건에서는 일대일성을, 반복 합성에서는 고정점 방정식을 찾아 보세요(11·23번 대비).